具有双重权重参数的最小生成树

考虑图。每个边缘具有两个权重和。查找最小化乘积。该算法应相对于在多项式时间内运行。 $G(V,E)$ $e$ $A_e$ $B_e$ $\left(\sum_{e \in T}{A_e}\right)\left(\sum_{e \in T}{B_e}\right)$ $|V|, |E|$

我发现很难在生成树上适应任何传统算法（Kruskal，Prim，Edge-Deletion）。怎么解决呢？有什么提示吗？

algorithms graph-theory spanning-trees

— 斯特林
source

也许尝试构造一个新的图，其中边的权重为。

e

$e$

max (A_{e}, B_{e})

$\max(A_e,B_e)$

— utdiscant 2012年

这是家庭作业问题/练习吗？如果是这样，那是一本教科书吗？我问的原因是上下文可以帮助“逆向工程”问题。贪婪算法在这里并不是很合适，但是如果它来自贪婪算法这一章……

— Joe

@utdiscant，那行不通。负边缘可能有用。

— Nicholas Mancuso 2012年

即使对于上升沿也没有用，例如，在大多数情况下，对（10,10）并不比对（11,1）好。

Answers:

我将假定您没有获得负加权边缘，因为如果存在负权重，这可能无法正常工作。

算法

对于每个边缘，将它们标记为到 $1$ $n$

令权重边号 $a_i$ $i$

令权重边号 B $b_i$ $i$

草拟这张桌子

   |a_1 a_2 a_3 a_4 .. a_n
---+-------------------------
b_1|.........................
b_2|.........................
 . |.........................
 . |.........................
b_n|...................a_n * b_n

每个表元素都是行和列的乘积。

对于每条边，将相关的表行和列相加（并记住相交中的元素，因为该元素已被相加两次）。

找到总和最大的边，如果不断开图形，则删除该边。标记边缘为必不可少的。如果已删除边，请在其行和列中填充0。

正确性

结果显然是一棵树。

由于没有顶点断开，因此结果显然是跨度的。

结果是最小的？如果存在另一个边缘，该边缘的删除将在算法结束时创建一个较小的生成树，则该边缘将被删除并首先为空。（如果有人可以帮助我使这个变得更加严格/和/或反例，那就太好了）

运行

多项式。 $|V|$

编辑

$(2,11), (11,2), (4,6)$ 是不反例。

$a_1 = 2, a_2 = 11, a_3 = 4$

$b_1 = 11, b_2 = 2, b_3 = 6$

然后

   | 2     11     4
---+--------------------
11 | 22    121    44
 2 | 4     22     8
 6 | 12    66     24

\begin{aligned} (4, 6) & = 44 + 8 + 24 + 66 + 12 = 154 \\ (2, 11) & = 22 + 4 + 12 + 121 + 44 = 203 \\ (11, 2) & = 121 + 22 + 66 + 4 + 8 = 221 \end{aligned}

$\begin{align*} (4,6) &= 44 + 8 + 24 + 66 + 12 = 154 \\ (2,11) &= 22 + 4 + 12 + 121 + 44 = 203 \\ (11,2) &= 121 + 22 + 66 + 4 + 8 = 221 \end{align*}$

$(11,2)$ 被删除。

最终得到 $(2,11), (4,6) = 6 * 17 = 102$

其他的生成树是

$(11,2), (4,6) = 15 * 12 = 180$

$(2,11), (11,2) = 13 * 13 = 169$

— 赫普·德灵顿
source

在我看来，这是一个相当贪婪的做法。您的极简主义“证明”令我信服。

— Nejc 2012年

@SaeedAmiri这是一个反例吗？我将工作发布在已编辑的部分中，该算法给出了正确的结果。

— 赫普·德灵顿

您所做的是查找每个对贡献，然后选择影响最大的那些。很好，但这不是必需的。这是一个棘手的问题。如果您想改善答案，则需要提供证明。否则，没有任何用处。

(a_{i}, b_{i})

$(a _i, b _i)$

\sum_{e \in E} a_{i} . \sum_{e \in E} b_{i}

$\sum _{e \in E} a _i. \sum _{e \in E} b _i$

— 2012年

但是，为您的努力而投下反对票是非常不公平的。

— 2012年

@AJed证明与prim / kush / reverse删除中的证明相同。我们现在需要证明的是，割下的财产仍然成立。

— 赫普·德灵顿

这是来自http://www.cnblogs.com/autsky-jadek/p/3959446.html的解决方案。

我们可以将每个生成树视为平面中的一个点，其中是权重之和，y是权重之和。目的是使最小化。 $x-y$ $x$ $\sum_{e\in T}A_{e}$ $\sum_{e\in T}B_{e}$ $xy$

根据权重和权重找到最小生成树。因此，我们在xy平面有两个点。在平面上的所有生成树点中，具有最小，具有最小。 $A$ $B$ $A,B$ $A$ $x$ $B$ $y$
现在我们的目标是在三角形中找到到线最大距离的点，这样我们就可以使三角形所有点的的值最小。 $C$ $OAB$ $AB$ $xy$ $C$ $ABC$

因为。 $2S_{ABC}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y})\times(C_{x}-A_{x},C_{y}-A_{y})=(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}-A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y})$

请注意，是一个常数，因此我们现在的目标是最大化。因此，我们制作了新图，而权重。现在我们在上运行最大生成树得到点。 $A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y}$ $(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}$ $G^{\prime}=(V,E)$ $w(e)=B_{e}(B_{x}-A_{x})+C_{x}(A_{y}-B_{y})$ $G^{\prime}$ $C$
递归在上运行上述算法，直到和之间不再有生成树。 $OBC, OAC$ $BC,AC$ $O$
现在我们得到了一组可能的生成树。计算每棵树的值以获得最小的树。 $xy$