忙碌的海狸是人类已知增长最快的功能吗？

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我只是有一个有趣的问题。人类已知的增长最快的功能是什么？它是忙海狸？

我们知道函数，但是此函数的增长速度比慢，而增长速度又慢于，其增长速度比慢。然后，我们可以组合函数，得到比增长更快，依此类推。 $x^2$ $2^x$ $x!$ $x^x$ $(x^x)!$ $x^x$

然后我们得出递归函数，例如Ackermann函数，其增长速度比快得多。然后人们对繁忙的海狸函数的了解甚至比阿克曼函数的增长还要快。 $A(x,x)$ $(x^x)!$ $B(x)$

在这一点上，我还没有听说过其他功能比忙碌的海狸更快的功能。这是否意味着没有其他功能可以比忙碌的海狸更快地成长？（除了阶乘外，像等） $B(x)$ $A(B(x), B(x))$

computability

— Bodacydo
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繁忙的海狸^ 2增长速度更快

— artistoex

2

@vzn为什么增长只对可计算函数有意义？渐近增长是一个与可计算性完全无关的数学概念。

— 拉斐尔

8

BB的@vzn增长率表示不可计算性。但是不可计算并不意味着高增长率。

— Sasho Nikolov 2012年

6

嗨@vzn 函数

使得

，如果

“日图灵机暂停，和

否则是不可计算但比阿克曼函数变得更慢。另一方面，很容易证明对于某些固定常数

，对于所有

，BB

Ackerman

。如果不是这种情况，您可以通过运行描述长度为

的图灵机

解决暂停问题

f

$f$

f (n) = 1

$f(n) = 1$

n

$n$

f (n) = 0

$f(n) = 0$

c

$c$

n > c

$n > c$

(n) >

$(n) >$

(n)

$(n)$

T

$T$

仅

于Ackerman

步骤，然后查看是否在此之前停止。

n

$n$

(n)

$(n)$

— 亚伦

4

@vzn也许您还有另一种“更快地成长”的想法..我（和我相信其他人）的意思是

给出的偏序。

f = ω (g)

$f = \omega(g)$

— Sasho Nikolov 2012年

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繁忙的海狸功能比任何可计算的功能增长更快。但是，它可以由图灵机进行计算，该图灵机已经可以使用预言机来解决暂停问题。然后，您可以定义“二阶”忙碌的海狸函数，其增长速度甚至快于任何具有预兆问题的图灵机都可以计算出的任何函数。您可以永远这样做，以建立越来越快的繁忙海狸功能的层次结构。

请参阅Scott Aaronson关于该主题的出色文章，谁可以命名更大的数字？。

— 亚伦
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关于HALT_TM的Oracle TM为什么可以解决繁忙的海狸，您是否有资源/理由？

— 瑞安

1

赖安：（从计算上）解决暂停问题等同于了解繁忙的海狸。1）program[length=n]停下来吗？模拟它的BusyBeaver(n)步骤。2）是什么BusyBeaver(n)？对于每个长度<n的程序，如果停止，则将其丢弃，并在其他程序中获得最大分数。

— ninjagecko 2015年

@ninjagecko你的意思是不要

— 停下来

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没有所谓的“增长最快的功能”。实际上，甚至没有快速增长的功能序列。Hausdorff已经证明了这一点。给定两个功能，说生长快于如果 $f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ $g$ $f$ 给定一个函数，以下函数增长速度快于：给定的功能的序列，下面的函数生长比他们都更快：

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{f (n)} = \infty .

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$

f

$f$

g

$g$

f

$f$

g (n) = n f (n) .

$g(n) = nf(n).$

f_{n}

$f_n$

g

$g$

g (n) = n max_{m \leq n} f_{m} (n) .

$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$ 一个自然要问的问题是，是否存在一个“规模”，增长最快的功能。这是一个良好有序的一组功能

，这是“共尾”，也就是，给定任意函数

，有一个快速增长的函数

。（我们可以等效地谈论一条链，而不是一个有序的集合，也就是说，集合中的任何两个功能都必须是可比较的。）规模的存在与ZFC无关：假设CH，存在一个规模，而在科恩的模型，该模型伪造CH（添加

实数），无标度存在。

g_{α}

$g_\alpha$

f

$f$

g_{α}

$g_\alpha$

ω_{1}

$\omega_1$

— Yuval Filmus
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5

其他答案直接解决了这个问题。为了获得更深入的背景知识，拉菲特（Lafitte）撰写的有关该主题的论文考虑了类似于海狸般忙碌函数的大背景。它还有一些结果和定理，使该想法适合更一般的框架。它表明（非正式地）“繁忙的类似海狸的功能”与柴汀不完全现象（定理2.1）密切相关。它还表明，有些理论不够“强大”，无法“理解”繁忙的海狸样功能，即由于与Godel相关的不完整性，这些理论无法得到证明。它显示了将繁忙的海狸样结果假定为公理和理论的逻辑进展的思想，该结果类似于图灵最初设想的思想。

[1] 忙碌的海狸由格雷戈里·拉菲特（GrégoryLafitte）疯狂。抽象：

使用繁忙的海狸功能，我们会在Chaitin中显示一些不完整的结果。然后，借助序数逻辑，我们将展示如何获得一种理论，在该理论中可以证明可建立忙碌的海狸函数的值，并以此来揭示这些函数的值的可证明性的结构。

— z
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另一个答案是完全不同的。嗯，谈到“强调语言”，主持人说“不，不”是一个例子吗？无论如何，缩写都可以看作是对那些希望为编辑赚2

— 倍的

1

您说自己不直接回答，那么为什么不发表评论？

— 拉斐尔

0

该Hartmanis，贝尔斯登的时间和空间层次定理证明有在时间或空间上没有“增长最快”的功能，因为规模是无界的。但是它确实给出了排序，以便可以比较所有“行为良好”的可计算/递归函数。但是到目前为止，许多“快速增长”的数学函数似乎都没有在时间/空间复杂度方面进行评估，尽管它在理论上有一定的差距甚至很明显。这样做可能导致重要的“桥梁定理”。

— z
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