为什么最小定点（lfp）在程序分析中很重要

我试图对程序分析中最小不固定点（lfp）的重要性有一个全面的了解。例如，抽象解释似乎使用了lfp。关于程序分析的许多研究论文也都集中在寻找最小固定点上。

更具体地说，这篇Wikipedia中的文章：Knaster-Tarski定理提到lfp用于定义程序语义。

它为什么如此重要？任何简单的例子都可以帮助我。（我正在尝试了解大图）。

编辑

我认为我的措辞不正确。我不质疑lfp的重要性。我的确切问题（初学者）是：计算lfp对程序分析有何帮助？例如，为什么/如何抽象解释使用lfp？如果抽象域中没有lfp，会发生什么？

希望我的问题现在更具体。

programming-languages finite-model-theory fixed-point

— 内存
source

@DW这是程序分析中的初学者问题。在发布问题是否过于模糊之前，我进行了多次辩论。我正在寻找的是：lfp在程序分析中起什么作用（当然很重要，但是如何？）。我正在寻找一个不会深入研究数学细节的答案。我认为我的问题措词也不清楚。我将编辑问题。

— 2015年

@DW我同意这可能不是经过充分研究的问题。但是，每当我继续阅读论文时，都会有很多数学上的细节，因此我很快就会松懈。例如，更具体地说，这篇论文《控制流的Widening》（berkeleychurchill.com/research/papers/vmcai14.pdf）对我来说似乎很抽象。它直接吸引了最小定点的计算。程序分析中的大多数论文似乎都与此问题有关。我失去了全局。我很高兴知道为什么计算lfp很重要。

— 2015年

Answers:

编程中任何形式的递归或迭代实际上都是一个固定点。例如，while循环的方程式为

while b do c done  ≡  if b then (c ; while b do c done)

这是说，while b do c done是一个解决方案W的方程的

W  ≡  Φ(W)

在哪里Φ(x) ≡ if b then (c ; x)。但是，如果Φ有很多固定点怎么办？哪一个对应于while循环？编程语义学的基本见解之一是它是最不固定的点。

让我们举一个简单的例子，这次是递归。我将使用Haskell。递归函数f定义为

f :: a -> a
f x = f x

是无处不在的函数，因为它永远运行。我们可以用一种更不寻常的方式来重写该定义（但它仍然可以在Haskell中使用）：

f :: a -> a
f = f

所以f是身份功能的固定点：

f ≡ id f

但是每个功能都是的固定点id。在通常的域理论顺序下，“未定义”是最小的元素。实际上，我们的功能f是无处不在的功能。

while $n$ $x_1, \ldots, x_n$ $V$ $V^n \to V^n \cup \{\bot\}$ $(v_1, \ldots, v_n) \in V^n$ $\bot$ $V^n$ $V^n \to V^n \cup \{\bot\}$

$V^n \cup \{\bot\}$ $\bot$ $V^n$ $V^n \to V^n \cup \{\bot\}$
$\bot$ while true do skip done
每个递增的序列都有一个极值

只是为了让您了解它的工作原理，程序的语义

x_1 := e

$(v_1, \ldots, v_n) \in V^n$ $v_e$ e $(v_1, \ldots, v_n)$ $(v_e, v_2, \ldots, v_n)$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
source

+1示例。但是，我有点困惑。 But what if Φ has many fixed points?虽然我了解定点方程，但在这种情况下，W \ in L吗？我们如何在这里定义晶格？感谢您对此的进一步阐述。

— 2015年

在上面的评论中，我使用“ L”代表晶格（或坐姿）

— 拉姆

我修改了答案。

— 安德烈·鲍尔

感谢更新。我特别感谢它，因为它给了我关于程序的不同看法。我现在正在阅读Nielson的“应用程序的语义：正式介绍”中的“定点理论”，该观点完成了关于使用IMP语言的部分函数构造晶格的观点。

— 拉姆

这是直觉：最小固定点可帮助您分析循环。

程序分析涉及执行程序-但抽象出一些数据细节。一切都很好。抽象可以使分析比实际运行程序更快，因为它可以让您忽略不关心的方面。例如，这就是抽象解释的工作方式：它基本上模拟了程序的执行，但是仅跟踪有关程序状态的部分信息。

棘手的是当您进入循环时。该循环可以执行很多次。通常，您不希望程序分析必须执行循环的所有这些迭代，因为这样一来，程序分析将花费很长时间……甚至可能不会终止。因此，这就是您使用最少固定点的地方。如果您不知道循环将迭代多少次，那么最不固定的点基本上是您可以肯定地说出的内容。

这就是最不固定点的用途。由于在整个程序中都存在循环，因此在整个程序分析中使用最少的固定点。最少的固定点很重要，因为循环无处不在，并且能够分析循环也很重要。

顺便说一下，递归和相互递归只是循环的另一种形式-因此它们也倾向于使用最少固定点来处理。

— DW
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