无限时间内的无限计算

这可能是一个愚蠢的想法，但是假设我们有一台经过编程以执行无限次计算序列的计算机，并且假设计算需要秒才能完成。然后，这台计算机可以在有限的时间内进行无限次的计算。 1 / 2 $i^\text{th}$$1/2^i$

为什么这不可能呢？进行非平凡计算需要多长时间有下限？

这种计算机的“种类”被称为芝诺机。它的计算模型属于“ 超计算”类别。超级计算模型是数学上的抽象，由于定义了它们的工作方式，因此它们在物理上是不可能的。

以您的芝诺机为例。如果我们将Zeno Machine想象成任何类型的计算机，那么它使用算盘还是集成电路都无关紧要。假设通过无限长的符号带（就像图灵机一样）将机器使用的程序数据馈送给它。

当然，我们从数学上知道：

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}... = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n$

我们说等于。由于总和绝对收敛，因此计算应在1秒内完成。$1$

但是，当然，这种收敛取决于到达（并达到）无穷大。从物理意义上讲，这意味着随着每次计算所需的时间越来越短，计算机的“读取头”将不得不越来越快地沿着磁带中的符号滑动。在某些时候，该速度将超过光速。$n$

因此，回答第二个问题，假定光速是理论上但物理上可行的计算模型中的主要限制因素，则计算中的绝对最低可能边界可能约为普朗克时间。

据我们了解的这一天（2015年9月15日），基本计算所需的时间受到光速和原子大小的限制。

计算单元需要以非零尺寸（原子）构建，并且要使计算正常工作，电或光将需要在其上滑动，这将受光在非零位置上花费多长时间的限制。 -零距离。

“万物理论”的答案很好，但是我想对为什么收敛到直觉，我们可以转换为以下问题的答案：$\Sigma_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n$$1$

假设您有一个红色和蓝色的水桶；蓝色的水桶装有一升水，红色的水桶是空的。您将一半的水从蓝色倒入红色。现在，两个水桶中都装有升水。您再次将蓝色水桶中的一半倒入红色，现在蓝色水桶中有升水，红色中有升。现在，您继续将蓝色水桶中的一半倒入红色水桶中。显然，您将不会向红色桶中注入超过一升的水，同样显然，您将始终在蓝色桶中倒出更多的水。$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$$\frac{3}{4}$

完成类比；蓝色存储桶包含的时间恰好是第一次计算花费时间的两倍。对于计算的每个步骤，您将用完剩余计算时间的一半，并将其倒入已用时间的红色存储桶中。就像红色的水桶中的水不能超过蓝色的水一样，红色的水桶中所用时间不能超过的计算时间的两倍。就像在蓝色水桶中总是有水一样，我们将始终有少量的计算时间可用于下一次计算。c $c_1$$c_1$

编辑：正如@a​​roth所指出的，这个类比假设我们可以永远保持水的分配；没有最小的不可分割的原子。这引起了一个有趣的观点（我认为），我们还必须假设时间可以任意整除，以使计算在有限时间内完成。