给定体积以最小化表面积的算法

考虑以下算法任务：

输入：一个正整数$n$，连同它的因式分解
查找：正整数$x,y,z$，最大限度地减少$xy+yz+xz$，受到了限制$xyz=n$

这个问题的复杂性是什么？有多项式时间算法吗？是NP难吗？

这个问题基本上是在问：在体积为$n$，尺寸均为整数的所有矩形实体中，表面积最小的是哪一个？

这个问题是由丹·迈耶（Dan Meyer）提出的，题为“ 1,000名数学老师无法解决的数学问题”。到目前为止，与他一起工作的数学老师都没有找到解决这个问题的合理算法。在他的上下文中，“合理”的定义有点不精确，但是作为计算机科学家，我们可以提出一个关于此问题的复杂性的更精确的问题。

显而易见的方法是枚举所有可能性$x,y,z$，但这需要花费指数时间。丹·迈尔（Dan Meyer）博客的评论者提出了许多有效的候选算法，不幸的是，所有这些算法都被证明是不正确的。马丁·斯特劳斯（ Martin Strauss）表示，这个问题似乎让人联想到3分区，但我看不到这种减少。

让我也清除一些我在评论/答案中看到的误解：

• 不能从3分区通过简单地更换每个数字减少$q$与其功率$2^q$，由于这两个问题的目标函数是不同的。明显的减少根本行不通。

• 最优解涉及选择$x,y,z$中的一个作为$n$与3的最接近除数是不正确的√$\sqrt[3]{n}$。我看到多个人都认为情况确实如此，但实际上这是不正确的。Dan Meyer博客文章已对此进行了证实。例如，考虑$n=68$；$\sqrt[3]{68} \approx 4$和4将68，所以你可能会认为，至少一个$x,y,z$应为4; 但是，这是不正确的。最佳解是$x=2$，$y=2$，$z=17$。另一个反是$n=222$，$\sqrt[3]{222}\approx 6$，但最佳的解决方案是$x=37$，$y=3$，$z=2$。（这可能是真实的，对于所有$n$，最优解决方案涉及制造在至少一个$x,y,z$等于任一的最小除数$n$大于$\sqrt[3]{n}$ 或最大除数$n$小于$\sqrt[3]{n}$我现在没有反例-但是如果您认为这句话是正确的，那就需要证明。您绝对不能认为这是真的。）

• “使的大小相同”似乎并不一定在所有情况下都能产生最佳答案。有关反例，请参见Dan Meyer的博客文章。或者，至少对于短语“使其大小大致相同”的一些合理解释，有一些反例表明该策略实际上并不是最佳的。如果您想尝试某种策略，请确保您准确地声明索赔，然后提供仔细的数学证明。$x,y,z$

• 运行时间不是多项式。为了使该问题出现在P中，运行时间必须是输入长度的多项式。输入的长度类似于lg n，而不是n。可以使明显的蛮力算法在O （n 3）或O （n 2）时间中运行，但是在lg n中是指数式的，因此算作指数时间算法。因此，这没有帮助。$O(n^3)$$\lg n$$n$$O(n^3)$$O(n^2)$$\lg n$

这是“选择接近立方根的除数”算法的修改版本。在许多情况下，它仍然必须蛮力行事，因此，我不确定在列举所有情况下，从速度角度来看，它是一项真正的进步。但是，我将其作为对OEIS算法（产生错误结果的算法）的更正，因为我认为它至少应该是准确的。

这是给定体积n的矩形棱镜的（s1，s2，s3）和表面积的算法：

1. 给定n，找到立方根。
2. 在该立方根的上限处设置初始值整数s1。
3. 测试以查看s1是否为n的除数，如果不是，则将s1减1。
4. 如果找到除数s1，则将初始值s2设置为（n / s1）的平方根的上限。
5. 然后测试以查看s2是否为n / s1的除数，如果不是，则将s2减1。
6. 找到除数s2时，将s3设置为n /（s1 * s2）。
7. 当前表面积通过2 *（s1 * s2 + s1 * s3 + s2 * s3）计算。
8. 将电流SA与电流最小值进行比较。如果计算出其第一表面积，则将其存储为minSA。在第一个之后，我们测试以查看当前的SA是否小于minSA，如果是，则将其存储在minSA中。

该算法枚举了某些三元组（s1，s2，s3），但只需要测试多维数据集根下的除数。（因为并非所有三个除数都可以在立方根上方）。以类似的方式，s2只需要在n / s1的平方根下测试n / s1的除数，因为不是两个除数都可以在平方根的上方）

关于步骤3的注释：如果立方根是除数，则n是立方，我们可以从框（s1，s1，s1）以最小表面积6 * s1 ^ 2停在那里。

蟒蛇：

import math
def minSArectprism(n):
    s1_0 = int(math.ceil(n ** (1 / 3.0))) 
    minSA=-1
    s1 = s1_0
    while s1>=1:
        while n % s1 > 0:  
            s1 = s1 - 1
        s1quot = int(n/s1) 
        s2_0 = int(math.ceil(math.sqrt(n/s1)))
        s2 = s2_0
        while s2>=1:
            while s1quot % s2 > 0:
                s2 = s2 - 1
            s3 = int(n / (s1 * s2))  
            SA = 2*(s1*s2 + s1*s3 + s2*s3)  
            if minSA==-1:
                minSA=SA
            else:
                if SA<minSA:
                    minSA=SA
            s2 = s2 - 1
        s1 = s1 - 1    
    return minSA

如果不给出素数分解，问题当然将与分解复杂性有关。给定这些因素，并取所有主要因素的对数，此问题似乎与最小化分区和的均值偏差相同（锻炼，可能是分析上或实验上，都可以找到这种近似的直觉近似）。问题成立）。$k$

这是三向情况（分区总和为）。的情况下的2路已被广泛研究，并是NP硬的（1个^ST REF）。（这2路的情况是不完全一样的已知NP完全2路分区问题，其中分区和相等。注意等于分区求和意味着在分函数和0偏差反之亦然。）2. ^第二 REF研究3-行和n行分区，部分是根据经验的，这里没有像2行情况那样多的研究。$\log(x), \log(y), \log(z)$$n$

• 最简单的难题：数字划分 / 位数

• 多维数字分区 / Korf

编辑

这是一个非正式的论据，说明为什么不太可能存在快速算法。 这个句子没有改变，但是我已经删除了以前的句子，因为它的结构太像下一节中的正式证明，而且讨论也转移到了它的错误上，我注意到其中一些错误和一个错误DW亲切地向我指出。相反，让我尝试表达其背后的直觉。

$N$

当我们将相同的步骤转换为不同的代数（例如加法和减法而不是乘法和除法）时会发生什么？我们知道（请参阅下面的引理），我们的算法将找到一个乘积相等的3分区（如果存在），或者确定不存在这样的3分区。因此，如果我们可以将相同的技术转换为加性组，则可以找到总和相等的3个分区，或者确定不存在此类分区。换句话说，我们可以在多项式时间内求解3分区。那不是很合理。

那么，为什么这样的算法可以用于乘法却不能加法呢？一个可能的原因是，每个整数在乘法运算下都有唯一的素数分解，而在加法运算下却是循环的。另一个是乘法与加法形成环，因此您可以使用另一组运算。另一个是必须将算法推广为适用于非素数，这可能取决于它们的素数。一个DW指出，特定的翻译方法可能会成倍增加输入的大小。也许毕竟P = NP。

但是，如果这些漏洞使快速算法起作用，我认为仍然有用，因为它暗示了我们应该将精力集中在哪里。如果我们尝试将其应用于NP完全问题，我们应该寻找会破坏的东西。可以推广到其他代数的方法可能是树错了树。不过，我怀疑乘法实际上并没有足够大的差异来起作用，但这只是预感。

引理

$m = \sqrt[3]{N}$$(am, bm, \frac{m}{ab})$$a$$b$$(ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})m^2$$a = b = 1$

$xyz = N$

$(am)(bm) + (am)(\frac{m}{ab}) + (bm)(\frac{m}{ab}) = abm^2 + \frac{m^2}{b} + \frac{m^2}{a} = (ab+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})m^2$

$f(a,b) = ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$\frac{\delta f}{\delta a} = b - \frac{1}{a^2}$$\frac{\delta f}{\delta b} = a - \frac{1}{b^2}$$a = b^2, b = a^2$$a$$b$$a = b = 1$

我立即证明这一点的动机是，在上面的证明中充斥着一招，如果存在完美多维数据集解决方案，那将是最佳选择。但是，此公式对于修剪搜索树可能很有用。

各种各样的想法

除了x，y和z的互换性之外，我看不到任何明显的对称性，这最多只能给我们恒定系数6。我们确实对2分区有一些加速，基本上说我们希望两个项都尽可能地彼此靠近，但我没有立即看到针对此问题的应用程序。

从我的头顶上，简单地将所有数字的对数立即使用加法就可以将其简化为经典的3分区问题，或者等效地，在任何3分区加法问题中将数字取幂即可将其转化为这样的乘法问题。这意味着这个问题不应该再容易了。我们这里确实有素数分解，而该分解不是素数分解，但这对我们有帮助吗？

在图形上，曲面xyz = 0看起来像xy-，yz-和xz平面的并集，并且对于任何正数n，该方程都看起来像y = n / xz，因此沿着坐标平面的每个切片将是双曲线。通常，我们可以说要最小化的数量在原点处最低，并且沿着x = y = z的线增长最快。如果我们只能沿着这个流形搜索，那么我们也许可以简化为二维问题。