寻找最大程度地躺在球上的球的复杂性

给定一组点和半径。在距离小于的地方找到数量更多的点的复杂性。例如最大化？ $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}^2$ $r$ $r$ $\sum_{i=1}^n \mathbb{1}_{\|x - x_i\| \leq r}$

蛮力算法将遍历每个点并计算距离小于的点的数量 $r$ 。这将导致的复杂性 $\mathcal{O}(n^2)$ 。

有没有更好的方法？

algorithms complexity-theory computational-geometry

— 曼努埃尔
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您是否看过四叉树和二进制空间分区树？我希望他们会提供一种在实践中更有效的算法，尽管我不知道最坏情况下的渐近运行时间可能是多少。

— DW

（ball标题的中心是否必须来自集合？）一个想法可能是，估计半径与到最近邻居的平均距离相比是否较小，或与直径的数量级相比（并考虑针对这些极端的方法）（小

平面扫描

r

$r$ ）和之间的宽间隔）。

— 灰胡子，2015年

球的中心应该是

x_{i}

$x_i$ 但是如果有一个更好的算法在没有这种情况的情况下，我也会感兴趣。

— 曼努埃尔·

对于未知的球程计数问题，它看起来似乎比算法要快。但是，如果您可以接受一个不精确的答案，则可以通过一组方向不同的正方形近似一个磁盘。对于每个方向，您都必须构建一个范围树（en.wikipedia.org/wiki/Range_tree），该树将允许您以时间（k计算一个正方形内的所有点。-一些结果点）。

O (n)

$O(n)$

O (l o g^{2} (n) + k)

$O(log^2(n) + k)$

— HEKTO

@HEKTO您是否建议构建一个成本为以查询点是否位于一个成本为的矩形中？然后遍历所有点以计算近似球中还有多少其他点？这可能有效，但是这种数据结构所需的内存是多少？会低于吗？

O (n \log (n))

$\mathcal{O}(n\log(n))$

O (l o g^{2} (n) + k)

$\mathcal O (log^2(n) + k)$

O (n^{2}))

$\mathcal O (n^2))$

— 曼努埃尔·2015年

Answers:

似乎目前尚不知道用于球程计数问题的亚线性算法。

但是，如果您可以接受一个不精确的答案，则可以通过一组方向不同的正方形近似一个磁盘。对于每个方向，您都必须构建一个范围树，该树将允许您在时间（k-所得到的点数）中计算一个正方形内的所有点。 $O(log^2(n)+k)$

每个范围树都将需要内存，您越希望获得更好的近似值，就应该使用更多的方向。例如，两个方向将为您提供一个八边形，它近似于面积误差小于6％的磁盘。 $O(n \cdot log(n))$

— 赫托
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答案不是那么简单，在复杂性理论中对该问题有深入的研究。例如，它似乎是作为以下问题进行研究的，它集中在快速的“球形范围计数”查询上。是的，可能会有改进的理论界限，但是这些似乎是任何人都没有实现的抽象算法。如果您想要实际的实现，那就是另一个问题。

“近似球形范围计数的时空权衡” / Arya，马拉马托斯，山

— z
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