快速k不匹配字符串匹配算法

我正在寻找一种快速的k不匹配字符串匹配算法。给定长度为m的模式字符串P和长度为n的文本字符串T，我需要一种快速（线性时间）算法来查找P匹配T的子字符串（最多不匹配k个）的所有位置。这与k差问题（编辑距离）不同。不匹配意味着子字符串和模式在最多k个位置具有不同的字母。我真的只需要k = 1（最多1个不匹配），因此针对k = 1的特定情况的快速算法也足够了。字母的大小为26（不区分大小写的英文文本），因此空间要求不应随字母的大小而增长太快（例如，我相信FAAST算法占用的字母空间大小是指数的，因此仅适用于蛋白质和基因序列）。

在最坏的情况下，基于动态编程的方法将趋于O（mn），这将太慢。我相信对此有Boyer-Moore算法的修改，但是我无法获得此类论文。我没有订阅访问学术期刊或出版物的权限，因此任何参考文献都必须在公共领域。

我将不胜感激任何指针，或指向免费文档的引用，或针对此问题的算法本身。

后缀数组可以用于此问题。它们包含按字典顺序排序的字符串的每个后缀的起始位置。即使可以以复杂度天真地构造它们，也有一些以复杂度构造它们的方法。例如参见this和this。让我们将此后缀数组称为SA。Θ （n $O(n\log n)$$\Theta(n)$

构造后缀数组后，我们需要为后缀数组构造一个最长公共前缀（LCP）数组。LCP数组存储后缀数组（按字典顺序的后缀）中两个连续前缀之间最长的公共前缀的长度。因此，LCP [i]包含SA [i]和SA [i + 1]之间最长的公共前缀的长度。该数组也可以线性时间构造：请参见此处，此处和此处以获取一些参考。

现在，要计算后缀树中任何两个后缀（而不是连续的后缀）所共有的最长前缀的长度，我们需要使用一些RMQ数据结构。上面的参考文献已经显示了这一点（如果将数组可视化为后缀树，则很容易看到），即后缀数组中位置为和（）的两个后缀之间的最长公共前缀的长度可以作为。一个好的RMQ可以预先处理阵列中或时间和响应形式的查询在v u < v m i n u < = k < = v − 1 L C P [ k ] L C P O （n ）O （n log n ）L C P [ u ，v ] O （1 $u$$v$$u < v$$min_{u<=k<=v-1}{LCP[k]}$$LCP$$O(n)$$O(n\log n)$$LCP[u, v]$$O(1)$时间。见这里的succint RMQ算法，并在这里对RMQ的一个很好的教程，和LCA和RMQs之间的关系（及还原）。这是另一种不错的替代方法。

利用此信息，我们构造了后缀数组和相关数组（如上所述），用于两个字符串之间的分隔符（例如T＃P，其中两个字符串中均不出现“＃”）。然后，我们可以使用“袋鼠”方法执行k个不匹配字符串匹配。这和本说明中后缀树的上下文中，袋鼠方法，而是可以直接施加到后缀阵列太。对于每一个索引的文本的，发现的后缀的开始在和后缀从0开始。这给出了在此之后，第一个不匹配时发生匹配的位置T L C P T i P P T [ i ] l 0 T P L C P T [ i + l 0 + 1 ] P [ l 0 + 1 ] k L C P O （1 ）O （k ）L C P 我$i$$T$$LCP$$T$$i$$P$$P$与。将该长度设为。跳过和不匹配的字符，然后尝试匹配其余的字符串。即，再次发现的和。重复此过程，直到获得不匹配项，或者任一字符串完成。每个为。有的每个索引的，这给人的总的复杂性。$T[i]$$l_0$$T$$P$$LCP$$T[i + l_0 + 1]$$P[l_0 + 1]$$k$$LCP$$O(1)$$O(k)$ $LCP$$i$$T$$O(nk)$

我使用了一种更容易实现的RMQ来实现总复杂度或如果，但是它如上所述，也可以在完成。可能还有其他直接方法可以解决此问题，但这是一种功能强大且通用的方法，可以应用于许多类似的问题。$O(nk + (n+m)\log(n+m))$$O(nk + n\log n)$$m = O(n)$$O(nk)$

以下是预期的算法（可以扩展到其他，使其成为）。（不过，我没有进行计算来证明是这样）。$\mathcal{O}(n + m )$$k$$\mathcal{O}(nk +m )$

这个想法类似于Rabin-Karp滚动哈希算法，用于精确的子字符串匹配。

想法是将每个长度为字符串分成个大小为块，并计算每个块的滚动哈希（给出哈希值），并将这些哈希值与模式中的值进行比较。$m$$2k$$m/2k$$2k$$2k$

在这些值中，我们最多允许不匹配。$k$

如果发生不匹配，我们将拒绝并继续。否则，我们尝试确认近似匹配。$k$

我期望（注意：自己没有尝试过）与使用基于后缀树的方法相比，这可能会在实践中更快，并且可能更易于编码/维护。