通过笛卡尔积找到有限笛卡尔积的子集的最小覆盖

给定一个笛卡尔乘积两个有限集的的子集，我希望通过笛卡尔乘积本身的集合来找到它的最小覆盖范围。 $I \times J$

例如，给定与之间的乘积，我可以观察到子集并尝试使用最少数量的笛卡尔积覆盖它。 $I=\{A,B,C\}$ $J=\{1,2,3\}$ $\{(A,2), (B,3), (B,2)\}$

这样做的两种方法是和，都需要2个产品。次佳的解决方案可能会将其分解为3个琐碎的乘积。 $\{A\} \times \{2\} + B \times \{2,3\}$ $\{A,B\}\times \{2\} + \{B\}\times \{3\}$

是否可以有效地找到这种最佳覆盖率（例如，在多项式时间内）？

algorithms set-cover

— yuvalm2
source

让我想起了这个问题，即“分解位向量的笛卡尔连接”（cstheory.SE，用不同的措词），它与电路理论的下限有关。您的问题出现在什么情况下？

— vzn

我的上下文是网络安全。在具有许多服务器的大型网络中，安全策略定义了可以与哪个服务器对话。如果这种策略是在很长一段时间内逐步构造的（通常如此），则可以通过将安全规则合并在一起来简化对安全策略的描述。我希望找到一种最佳的简化方法。

— yuvalm2 2015年

仅是您要最小化的产品数量？如果是这样，使用做封面怎么了？这将涵盖您子集中的所有内容（以及更多内容）。您是否要求解决方案不仅必须覆盖子集，还必须避免覆盖子集之外的任何内容？

I \times J

$I \times J$

— DW

另外，由于这来自实际应用（因此您可能正在寻找实用的解决方案），您能否大致了解一下参数大小？例如，的典型大小，，以及您的子集，大约在一个数量级内；或典型值范围？这可能有助于评估哪些技术最可能有效。我想起了逻辑最小化，DNF和Karnaugh映射。

| I |

$|I|$

| J |

$|J|$

— DW

可能的另一种表达方式如下：给定二分图找到覆盖的最小二分集团（或双clique）。每个集团对应于您的笛卡尔空间中的唯一产品。

G = (L, R, E)

$G = (L, R, E)$

E

$E$

— Nicholas Mancuso 2015年

NM通过查找覆盖二分图的最小二分集团（双clique），在评论中重新提出了这个问题。您提到的两个集合是二部图的2个顶点集合。两个顶点集的子集的笛卡尔积是双斜体。维基百科指出这是二分维问题，是Garey和Johnson中的 GT18问题，基于对设定基问题SP7的简单重新表述，证明了NP是完整的。

— z
source