寻找最长的重复子序列

给定字符串，我想找到最长的重复（至少两次）子序列。也就是说，我想找到一个字符串，它是的子序列（不一定是连续的），使得。也就是说，是一个字符串，其一半连续出现两次。请注意，是的子序列，但不一定是子字符串。 $s$ $w$ $s$ $w=w' \cdot w'$ $w$ $w$ $s$

例子：

对于“ ababccabdc”，它将是“ abcabc”，因为“ abc” =“ abc”和“ abc”在“ ababccabdc”中（至少）出现了两次（至少）。

对于“ addbacddabcd”，一个选项为“ dddd”，因为“ dd”出现两次（我不能多次使用相同的字母，但是这里我有4个“ d”，所以还可以），但其值为4。我可以找到更好的一个长度8：“ abcdabcd”，因为“ abcd”是“ addbacddabcd”的子字符串，该子字符串出现两次。

我有兴趣找到最长的重复子序列。这也称为“找到最长/最大的平方”，但我读过许多文章，其中为子字符串而不是子序列定义了平方。

我可以轻松地使用蛮力算法，该算法通过迭代字符串中的断点的所有选项来获取，然后我将在两个字符串中寻找最大/最长的公共子序列，但是使用动态编程技术每次检查将花费，因此整个时间将是。我发现了最长公共子序列更有效的算法，该算法采用，因此运行时间将为。 $O(n^3)$ $O(n^2)$ $O(n^3)$ $O(\frac{n^2}{\log n})$ $O(\frac{n^3}{\log n})$

我正在寻找一种更有效的算法来解决最长重复子序列问题。也许我对所有断点进行迭代的想法浪费了太多时间，并且可以减少为更少的迭代。或者也许以不同的态度解决这个问题。

我搜索了许多期刊和以前的问题，发现的大多数结果都与子字符串有关，而不是与子序列有关。

我还读到可以使用后缀树来完成此操作，但这也与子字符串有关，我不确定是否可以将这种想法扩展到子序列。

我正在寻找可以在时间中运行的解决方案。如果在时间上存在一个会更好（我不确定是否存在）。 $O(n^2)$ $O(n \cdot \log n)$

— 丹德曼
source

查找后缀树或后缀数组。

— 别名

不可能存在一个时间算法来解决此问题，因为如果确实存在，则可以用它击败最著名的算法来找到两个长度为字符串和的LCS，如下所示：形成字符串，其中是或中都没有出现的字符的副本，然后在其上运行 -time算法。最长重复子序列的两个“一半”都必须以开头，因此一半来自和每个

o (n^{2})

$o(n^2)$

n

$n$

u

$u$

v

$v$

x u x v

$xuxv$

x

$x$

n + 1

$n+1$ $

u

$u$

v

$v$

o (n^{2})

$o(n^2)$

x

$x$

u

$u$

v

$v$ ，解决了LCS问题。

— j_random_hacker

@j_random_hacker LCS可以使用后缀树在或使用滚动哈希在求解。

O (n + m)

$\mathcal O(n+m)$

O (n \log n)

$\mathcal O(n\log n)$

— Evil

@Evil：我还不知道如何，您能提供更多细节吗？（您确定您不考虑最长的公共子字符串，可以解决那些时间复杂的问题吗？）

— j_random_hacker

@j_random_hacker我以为您正在将目标与LCS（连续）进行比较，但是，正如您提到的，是的，我什至没有在n ^ 2中看到最长公共子序列的有效解决方案（我发现了一种动态的编程代码，传播到许多页面上，存在缺陷，类似于不合格的答案）。因此，很抱歉我误解了您的评论。

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Evil

-1

这是一个动态编程解决方案。

假设输入字符串是。创建一个表其行和列的索引为（其中是字符串的长度），并由规则答案是。 $x_1\ldots x_n$ $T$ $0,\ldots,n$ $n$

T [i, j] = {\begin{cases} 0 & if i = 0 or j = 0, \\ T [i - 1, j - 1] + 1 & if x_{i} = x_{j} and i \neq j, \\ max (T [i - 1, j], T [i, j - 1]) & otherwise . \end{cases}

$T[i,j] = \begin{cases} 0 & \text{if $i = 0$ or $j = 0$}, \\ T[i-1,j-1] + 1 & \text{if $x_i = x_j$ and $i \neq j$}, \\ \max(T[i-1,j],T[i,j-1]) & \text{otherwise}. \end{cases}$

T [n, n]

$T[n,n]$

— jir17
source

假设我们有一些与，并在条件语句为真。然后暗示位置处的字符是两个子序列的一部分。

i, j

$i, j$

i = j + 1

$i=j+1$ ifdp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

i - 1 = j

$i-1=j$

— j_random_hacker '16

欢迎来到计算机科学！请删除源代码，并用想法，伪代码和正确性参数替换它。有关相关元讨论，请参见此处和此处。

— 拉斐尔

@Raphael递归公式不算作源代码。

— Number945 '16

@BreakingBenjamin根据您选择的语言，您可以或多或少从字面上写下给定的复发。关键是这里没有解释。

— 拉斐尔