没有多态Lambda演算的朴素集理论模型？

在菲利普·沃德勒（Philip Wadler）关于免费定理的论文中，他在关于参数性的第二节中指出

没有多态lambda演算的幼稚集理论模型

在朴素的集合理论模型中，类型是集合，函数是集合理论函数，这似乎是合理的。那么，为什么他说没有多态Lambda演算的幼稚集合论模型呢？

functional-programming

— MK
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好的，我偶然发现了这篇论文：hal.inria.fr/inria-00076261/document。我将不得不耕种它。

— MK

雷诺兹的那篇论文确实是正确的论文！省略了许多细节，可以总结为：考虑data T = K ((T -> Bool) -> Bool)。然后，T和((T->Bool)->Bool)是同构的。如果它们具有->表示函数空间（作为集合）的集合模型，则后者具有较高的基数，因此不能与成为同构T。因此，在模型中，我们需要以->不同的方式进行解释-例如作为连续函数的空间。

— 智

我回答太快，回答了错误的问题。对于那个很抱歉。天真的集合论中多态Lambda演算不具有模型的原因显然与未类型化Lambda演算的模型完全不同。

您正在寻找的标准参考确实是Reynold的Polymorphism不是Set Theoretic。尽管很明显您无法使用通常的集合理论积在所有集合上形成乘积，但这是一个合法且非平凡的问题，即是否存在一些弱项在保持常规二进制乘积和函数空间同时，将起作用的乘积概念。 $\Pi_{S\in\mathrm{Set}}S$ $\times$ $\rightarrow$

事实证明，这也不可能，因为一方面，很容易构建类型，使得解释至少包含2个元素，并证明与同构，这对于通常的cantor悖论对的解释是不可能的。从这个意义上讲，它有点类似于无类型演算的证明。 $\bf 2$ $T=\Pi_X(X\rightarrow {\bf 2})\rightarrow{\bf 2}$ $(T\rightarrow {\bf 2})\rightarrow {\bf 2}$ $\rightarrow$

请注意，安德鲁·皮茨（Andrew Pitts）撰写的另一篇论文《建设性地设定了多态性》，通过证明上述矛盾只能在经典集合论中进行构造，并且存在一些可以使多态性构成的建构理论，在某种程度上推翻了这一结论。用函数空间和乘积的通常解释来解释。最值得注意的是，这些“大产品”存在于“有效主题”中，Phoa提供了最全面的介绍。

— 科迪
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