是否存在带有提取的优先级队列？

有很多数据结构实现了优先级队列接口：

• 插入：将元素插入结构
• Get-Min：返回结构中的最小元素
• Extract-Min：删除结构中的最小元素

实现此接口的常见数据结构是（min）堆。

通常，这些操作的（摊销）运行时间为：

• 插入：（有时）O（log n $\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(\log n)$
• Get-Min：$\mathcal{O}(1)$
• 提取最小值：$\mathcal{O}(\log n)$

例如，斐波那契堆可达到这些运行时间。现在，我的问题是：

是否存在具有以下（摊销）运行时间的数据结构？

• 插入：$\mathcal{O}(\log n)$
• Get-Min：$\mathcal{O}(1)$
• 提取最小值：$\mathcal{O}(1)$

如果我们可以在给定排序输入的情况下在时间内构造这样的结构，那么我们可以例如在比使用“通常”优先级队列的路口快得多。o （$\mathcal{O}(n)$$o\left(\frac{n}{\log n}\right)$

我们的想法是使用线程 展开树。除了Wikipedia文章外，我们还将对树进行线程化，以便每个节点next在有序遍历中都有一个指向其后继节点的指针。我们还持有一个指向start树中最小元素的指针。

很容易看出，在（最坏的情况下）时间可以提取最小的元素：只需跟随指针，删除最小值，然后将指针更改为最小值。最小的孩子永远不能生一个孩子。如果它有一个合适的孩子，我们将其放在树中最小的位置。我们不执行splay操作，splay树通常会执行。 结果是搜索树仍然保持合理的平衡：因为我们只删除了左侧侧面的节点，所以我们知道当（受影响的子树中）的节点数由于删除而下降到原始数的一半时，（树的高度减少一。$\mathcal{O}(1)$startnext

可以在摊销时间内插入；之字形操作（以及其他操作）也将很好地重新平衡树。$\mathcal{O}(\log n)$

这充其量只是一个粗略的草图。值得称赞的是F.温伯格（F. Weinberg），他和我一起为这个问题感到困惑，而我们的顾问M. Nebel（M. Nebel）提到了八角树，这是我们没有尝试过的唯一的树变种。

• 插入：$\mathcal{O}(\log n)$
• Get-Min：$\mathcal{O}(1)$
• 提取最小值：$\mathcal{O}(1)$

摊销时间

优先级队列的简单实现（例如，任何平衡的BST或标准二进制min-heap）都可以通过简单地收取要插入的Extract-Min的开销并维护指向最小元素的指针来实现这些（摊销）运行时间。例如，您可能具有的潜在功能。然后插入一个新元素将使电位增加，因此插入的摊销成本仍为，但是Extract-Min（）将电位减少了，并且因此摊销成本仅为。O （log n ）O （log n ）Ω （log n ）O （1 $cn \log n$$O(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$$O(1)$

最差的情况

您可以使用文献中现有的数据结构：手指搜索树，只需维护指向最小元素的指针即可。有关概述，请参见本次调查；Levcopoulos和Overmars于1988年发表的论文中提供了可满足您需求的可实施版本。

2-4棵树在已知位置已摊销修改。也就是说，如果您有一个指向树中某个位置的指针，则可以在摊销时间内在其中删除或添加一个元素。O （1 $O(1)$$O(1)$

因此，您可以仅将指针指向2-4棵树中的最小元素和根节点。插入应通过根节点。在deleteMin之后将指针更新为最小值很简单，而deleteMins为（分期）时间。$O(1)$

一个有趣的旁注：红黑树只是看2-4棵树的一种方式。C ++ 98标准的设计者希望库实现者提供基于红黑树的容器，并且该标准指定在已知位置（称为“迭代器”插入和删除应为摊销时间。 ）。但是，对于红黑树来说，这实际上要比2-4棵树复杂得多，因为它需要懒惰地标记需要重新着色的节点。据我所知，没有C ++ 98标准库的实现满足该特定要求。$O(1)$

根据要求，这是我提出问题后发现的结构：

基本思想是使用线程化的 替罪羊树以及指向最小值的指针（也可以使用最大值的指针）。一种更简单的线程替代方法是在每个节点中维护前任和后继指针（这是等效的，更简单，但开销更大）。我来称呼它为替罪羊堆，只是为了给它起个名字。

仅此基本结构即可为您提供以下操作：

• 搜索：给定一个键，在时间返回一个指向相应节点的指针。$\mathcal{O}(\log n)$
• 插入：给定键，将键插入结构，并在时间返回指向该节点的指针。$\mathcal{O}(\log n)$
• 前任/前任：给定一个指针，将在时间返回后任或前任。$\mathcal{O}(1)$
• Get-Min / Max：将指针返回到最小值或最大值。

在替罪羊树的分析中，删除的平衡开销被分析为，但分析实际上给出了的平衡开销（在本文中被忽略了）因为他们还计算时间来找到要删除的节点）。因此，如果我们有一个指向节点的指针，我们可以在固定时间内删除它（您可以在时间在线程二进制搜索树中完成此操作），并与的平衡开销，这会给时间删除：O（1 ）O（log n ）O（1 ）O（1 ）O（1 $\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(1)$

• 删除：给定一个指针，将在时间内删除该节点。$\mathcal{O}(1)$

结合这个：

• Extract-Min / Max：在时间中删除最小/最大节点。$\mathcal{O}(1)$

您可以使用指针做更多的事情：例如，维护指向中位数或其他阶次统计信息的指针并不难，因此，如果需要，可以保持一定数量的此类指针。

其他一些事情：

• 构造：按排序顺序给定键，在时间内构建一个替罪羊堆。O（n $n$$\mathcal{O}(n)$
• 平衡：平衡该树，使其在时间内形成一个完美平衡的二叉搜索树（减少搜索的开销（通过使用，您可以比本文建议的速度快一个常数因子）前导/后继指针）。$\mathcal{O}(n)$

最后，我很确定您可以支持这些操作，但是在确定这一点之前，我需要多考虑一下这些内容：

• Insert-New-Min / Max：给定一个小于或大于结构中现有键的键，将其插入结构，并在时间返回指向该节点的指针。$\mathcal{O}(1)$

软堆是对二项式队列的微妙修改。数据结构近似为错误参数。它支持插入，删除，融合和查找。除需要时间的insert之外，每个操作的摊销复杂度为。软堆的新颖之处在于超越了基于比较的模型中堆的复杂性的对数界限。为了打破信息理论的障碍，通过人为地提高一些键的值来减少数据结构的熵。这称为破坏密钥。数据结构完全基于指针（无数组或数值假设），并且对于任何值都是最佳的O （1 ）日志（1 / ϵ $\epsilon$$O(1)$$\log (1/\epsilon)$$\epsilon$ 在基于比较的模型中。

$\epsilon n$

对于原始，清晰且写得很好的论文，请参见Bernard Chazelle，《软堆：具有最佳错误率的近似优先级队列》，ACM杂志，47（6），第1012-1027页，2000年。有关自SODA'09声称更简单，更直观的替代实现和分析，请参阅Kaplan H.＆Zwick U。，《 Chazelle软堆的更简单实现和分析》，2009年。

好的，终于让您找到了想要的复杂性，而最好的是，我在文献中发现了这一点：

最坏情况的复杂性

$\bf\mathcal{O}(1)$

$\bf\mathcal{O}(1)$

$\bf\mathcal{O}(1)$

$\bf\mathcal{O}(log\ n)$

参考

[3]$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(log\ n)$$\mathcal{O}(n)$

Brodal，GerthStølting。“可快速熔化的优先队列”。在第四届算法和数据结构国际研讨会论文集，282–290。WADS '95。英国伦敦，英国：Springer-Verlag，1995年。

[3]：Dietz，Paul F和Rajeev Raman。“恒定更新时间手指搜索树”。信息处理信函52号。3（1994）：147 – 154。

虽然这使用计算的RAM 模型：

我们的数据结构使用具有单位成本度量和对数字长的随机访问机器（RAM）模型；

最近，已经给出了计算解决方案的Pointer-Machine模型[1]。

[1]：Brodal，GerthStølting，George Lagogiannis，Christos Makris，Athanasios Tsakalidis和Kostas Tsichlas。“指针机器中的最佳手指搜索树”。J.计算机 Syst。科学 67号 2（2003年9月）：381-418。

通过维护两个数据结构来解决此问题：数组和二叉树。

$\Omega(\dfrac{\log n}{\log\log n})$$\Omega(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

null$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(1)$delete_at(idx)

1 Patrascu，Mihai和Erik D. Demaine。“ Cell-Probe模型中的对数下界。” SIAM J. Comput。35，没有 4（2006年4月）：932-963。doi：10.1137 / S0097539705447256。

$O(1)$$O(\sqrt{log\text{ }log\text{ }n})$

参见2007年的论文：Mikkel Thorup的优先级队列与排序之间的等效性。

$O(n\text{ }\sqrt{log\text{ }log\text{ }n})$

分析

$\mathcal{o}(n\ log\ log\ n)$

$\mathcal{o}(log\ log\ n)$

$\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(n)$

$\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(1)$

实作

1. $\mathcal{O}(1)$
2. $\mathcal{O}(6)$$\mathcal{O}(1)$
3. $k$$\pm$ $$((k > n_{\text{size}-1}) \lor (k<n_{0}) \lor ((k<n_{i}) \land (k>n_{i+1})))$$ $\mathcal{o}(log\ log\ n)$

[1]：Andersson，Arne和Christer Mattsson。“在O（log log n）时间中进行动态插值搜索”。在Andrzej Lingas，Rolf Karlsson和Svante Carlsson编辑的《自动机，语言和程序设计》中，700：15–27。计算机科学讲义。Springer Berlin / Heidelberg，1993年。http：//dx.doi.org/10.1007/3-540-56939-1_58。