什么是共生？

我听说过（结构性）归纳法。它使您可以从较小的结构中构建有限的结构，并为证明这种结构的原理提供证明。这个想法很明确。

但是共生呢？它是如何工作的？怎么能说出无限结构的定论呢？

有（至少）两个角度需要解决，即共归作为一种定义事物的方式和一种证明技术。

关于共生作为证明技术，共生和双仿真之间是什么关系？

— 戴夫·克拉克
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我实际上想知道这个答案:)

— Suresh 2012年

另请参阅cs.cornell.edu/~kozen/papers/Structural.pdf以获取指导文章。

— mrp

首先，要消除可能的认知失调：对无限结构的推理不是问题，我们一直在这样做。只要结构是有限可描述的，那不是问题。以下是几种常见的无限结构类型：

语言（某些字母上的字符串集，可能是有限的）；
树的语言（某些字母上的树集）；
非确定性系统的执行痕迹；
实数；
整数集；
从整数到整数的函数集；…

互导性是最大的固定点

在归纳定义从基本构造块构建结构的地方，共归定义从如何解构的角度塑造结构。例如，其元素在集合中的列表类型A在Coq中定义如下：

Inductive list (A:Set) : Set :=
  | nil : list A
  | cons : A -> list A -> list A.

通俗地说，该list类型是包含内置的所有值最小的类型nil和cons构造，与公理。相反，我们可以定义最大的类型，该类型包含从这些构造函数构建的所有值，同时保持区分公理： $\forall x \, y, \: \mathtt{nil} \ne \mathtt{cons} \: x \: y$

CoInductive colist (A:Set) : Set :=
  | conil : colist A
  | cocons : A -> colist A -> colist A.

list与的子集同构colist。此外，还colist包含无限列表：带有coconson的列表cocons。

CoFixpoint flipflop : colist ℕ := cocons 1 (cocons 2 flipflop).
CoFixpoint from (n:ℕ) : colist ℕ := cocons n (from (1 + n)).

flipflop $1::2::1::2::\ldots$ from 0 $0::1::2::\ldots$

如果结果是从较小的块构建的，则递归定义的格式正确：递归调用必须在较小的输入上起作用。如果结果构建了更大的对象，则corecursive定义的格式正确。归纳法看待构造函数，共归法看待析构函数。请注意，对偶性不仅会变小，而且会变大，输入也变大。例如，上述flipflop和from定义格式正确的原因是，cocons在两种情况下，corecursive调用均由对构造函数的调用来保护。

关于归纳对象的陈述具有归纳证明，而关于共归对象的陈述具有共归证明。例如，让我们在colists上定义无限谓词。从直觉上讲，无穷无尽的Collist并非以结束conil。

CoInductive Infinite A : colist A -> Prop :=
  | Inf : forall x l, Infinite l -> Infinite (cocons x l).

为了证明形式的colists from n是无限的，我们可以通过共归进行推理。from n等于cocons n (from (1 + n))。这表明from n大于from (1 + n)，这是通过共归假设无限的，因此from n是无限的。

双相似性，共生性质

共生作为证明技术也适用于最终物体。直观地讲，关于对象的归纳证明基于对象的构建方式。归纳证明基于对象如何分解。

在研究确定性系统时，通常通过归纳规则定义等价关系：如果可以通过一系列转换从一个系统转换到另一个系统，则两个系统是等效的。尽管内部结构不同，但这样的定义往往无法捕获不确定性系统最终可能具有相同（可观察）行为的许多不同方式。（共导对于描述非终止系统也很有用，即使它们是确定性的，但这也不是我在此要重点介绍的内容。）

非确定性系统（例如并发系统）通常由标记的过渡系统建模。LTS是其中标记了边缘的有向图。每个边缘代表系统的可能过渡。LTS的轨迹是图形中路径上的边缘标签序列。

$\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $S$ $L$ $\rightarrow$ $R \subseteq S \times S$

\forall (p, q) \in R, if p \overset{α}{\to} p^{'} then \exists q^{'}, q \overset{α}{\to} q^{'} and (p^{'}, q^{'}) \in R

$\forall (p,q)\in R, %\forall p'\in S, \forall\alpha\in L, \text{ if } p \stackrel\alpha\rightarrow p' \text{ then } \exists q', \; q \stackrel\alpha\rightarrow q' \text{ and } (p',q')\in R$

$\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $\mathscr{B}$ $\mathscr{A}$ $R$

$R_1$ $R_2$ $R_1 \cup R_2$

双相似性是一个共生性质。可以将其定义为运算符的最大固定点：它是最大的关系，当扩展该关系以标识等效状态时，它保持不变。

参考文献

Coq和归纳结构的演算
- 伊夫·贝托（Yves Bertot）和皮埃尔·卡斯特兰（PierreCastéran）。互动定理证明和程序开发— Coq'Art：归纳结构的演算。施普林格，2004年。13. [ 网站 ] [ 亚马逊 ]
- 爱德华多（EduardoGiménez）。归纳类型在coq中的应用：交替比特协议的验证。在“证明和程序类型研讨会”中，《计算机科学讲义》第1158号，第135-152页。Springer-Verlag，1995年。[ Google图书 ]
- EduardoGiménez和PierreCastéran。Coq中[Co-]归纳类型的教程。2007. [ PDF ]
标记的过渡系统和双仿真
- 罗宾·米尔纳（Robin Milner）。沟通与并发。普伦蒂斯·霍尔（Prentice Hall），1989年。
- Davide Sangiorgi。双重模拟与共生的起源。ACM编程语言和系统交易（TOPLAS），第31卷，第4期，2009年5月。[ PDF ] [ ACM ]相关的课程幻灯片：[ PDF ] [ CiteSeer ]
- Davide Sangiorgi。Pi演算：移动过程理论。剑桥大学出版社，2003年。[ 亚马逊 ]
  - Anton Trunov建议的更多参考资料
- 一章中的认证程序与相关类型由A. Chlipala
- D.Sangiorgi。“双仿真和共生介绍”。2011. [ PDF ]
- D. Sangiorgi和J. Rutten。双模拟和归纳的高级话题。剑桥大学出版社，2012年。[ CUP ]

— 吉尔斯
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让我们考虑以下归纳定义：

$\qquad \displaystyle \begin{align*} &\phantom{\Rightarrow} \quad \varepsilon \in \mathcal{T} \\ w \in \mathcal{T} \quad &\Rightarrow \quad aw \in \mathcal{T}\\ aw \in \mathcal{T} \quad &\Rightarrow \quad baw \in \mathcal{T} \end{align*}$

$\mathcal{T}$ $b$

$\qquad \displaystyle \mathcal{T} =\{\varepsilon, a, aa, ba, aaa, aba, \dots\} = \mathcal{L}\left((ba\mid a)^*\right) \subseteq \Sigma^*.$

$\mathcal{T}$ $\mathcal{T}=\{a,b\}^*$

$f : 2^{\Sigma^\infty} \to 2^{\Sigma^\infty}$

$\qquad f(T) = T \cup \{\varepsilon\} \cup \{aw \mid w\in T\} \cup \{baw \mid aw \in T\}$

$\mathcal{T}$ $f$ $f$ $\left(2^{\Sigma^\infty},\subseteq\right)$ $\{\varepsilon\}$ $\mathcal{T}$

$w$ $aw$ $aw$ $w$ $\mathcal{T}'$ $\mathcal{T}'$ $\Sigma^\infty$ $bb$ $\mathcal{T}'=\mathcal{L}\left((ba\mid a)^\omega\right)$

$f$ $\mathcal{T}'$ $\mathcal{T}'$ $\{\varepsilon\}$ $\Sigma^\infty$

符号：

$\Sigma^\infty = \Sigma^* \cup \Sigma^\omega$
$\Sigma^\omega$ $\Sigma$

$w \in \mathcal{T} \Rightarrow aw \notin \mathcal{T}$
$\{\varepsilon\}$

— 拉斐尔
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我希望归纳解释是适当的。

— 拉斐尔

ω

$\omega$

ω

$\omega$

Σ^{\infty}

$\Sigma^\infty$

很好的解释。但是，我不明白这句话We can not turn the anchor around, so it goes away。

— 衡新2014年

ε \in T^{'}

$\varepsilon \in \mathcal{T}'$

ε \notin T^{'}

$\varepsilon \not\in \mathcal{T}'$