查找“反回文”语言的示例

设 $\Sigma = \{ 0, 1 \}$ 。语言 $L \subseteq \Sigma^*$ 据说有“反回文”属性，若对所有的字符串 $w$ 这是一个回文， $w\notin L$ 。此外，对于每一个字符串 $u$ 是不是回文要么 $u\in L$ 或 $\mathrm{Reverse}(u) \in L$ ，但不能两者都（！）（异或）。

我了解反回文性质，但找不到具有此性质的任何语言。最近一个我能找到的是 $\Sigma^* \setminus L$ ，但它不具有独占或部分...也就是说，例如，两个 $01$ 和 $10$ 是 $L$ 。

谁能给我一个具有这种特性的语言的例子吗？甚至可能不止一个示例，因为我看不到这对语言有什么样的限制。（它必须是非常规的吗？上下文无关吗？或者甚至在 $R$ ？等中也不是。）

formal-languages

— 马里克·S。
source

“我找不到具有此属性的任何语言。” -您已经通过赋予属性来定义了其中一种，并假设存在满足该条件的任何语言。

— 拉斐尔

我不同意，他定义的是一类语言。这并不构成对语言的明确定义。

— Shreesh '16

Answers:

一个例子是 $L = \{ x\ \ |\ \ binary(x) < binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$ 。

还有另一个例子。 $L' = \{ x\ \ |\ \ binary(x) > binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

这个想法是，如果，则您可以制定一个规则，仅选择其中之一。您需要选择规则以拒绝回文（，对于回文，您必须具有）。您也可以更改字母二进制字母只是为了快速获得答案。 $x \neq x^R$ $f(x) < f(x^R)$ $f(x)= f(x^R)$

上面的和不规则。并且每种反回文语言都将是非常规语言，并且可能与非RE语言一样糟糕。不确定语言的说明：使得如果两个和暂停或两个和暂停，否则如果 $L$ $L'$ $L=\{x\ \ |\ \$ $binary(x)<binary(x^R)$ $x$ $x^R$ $\not\in$ $x$ $x^R$ $\in$ 暂停 $x \in$ $\}$

克劳斯·德拉格（Klaus Draeger）在下面的评论中解释说，答案开头给出的反回文语言是上下文无关的： $L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$

— 细碎
source

我知道，因此，每种反回文语言都是非常规的。但是可以说它必须在

吗？因为即使扩展这个想法，我们将使用

的TM来计算我们将使用的每个订单/函数，对吗？

R

$R$

R

$R$

— Marik S.

@Marik有定义明确但无可争议的函数。例如，将代表Halting问题中M，w的数字映射到[0,1]。

— Shreesh '16

是的，但是这样的函数能够在

上定义总阶吗？

Σ^{*}

$\Sigma^*$

— Marik S.

是。例如

如果两个

和

或

暂停，否则

或

取其在暂停

。停顿是所有

使得

L = {x | x \neq x^{R}, b i n a r y (x) < b i n a r y (x^{R})

$L = \{x | x \neq x^R, binary(x) < binary(x^R)$

x

$x$

x^{R} \notin

$x^R \not\in$

\in

$\in$

x

$x$

x^{R}

$x^R$

}

$\}$

(M, w)

$(M,w )$

M

$M$ 在

停止。

w

$w$

— Shreesh '16

如果采用对角线化语言，则该语言将变为非RE。

— Shreesh '16

关于生成一些示例：

以@shreesh的答案为基础，我们可以证明每种反回文语言都必须采用以下形式：用于某些严格的总排序。

L = {x | x < x^{R}} (*)

$L = \{ x \ |\ x < x^R \}\qquad (*)$

<

$<$

确实，给定任何抗回文，我们可以定义一个相关的，如下所示。我们首先采取任何枚举的，其中每个字只出现一次。然后，我们更改枚举：对于每对非回文字母，我们交换它们的位置，以便使属于的一个出现在另一个之前。新的枚举导致总排序满足。 $L$ $<$ $x_0,x_1,\ldots$ $\{0,1\}^*$ $x,x^R$ $L$ $<$ $(*)$

定义为每个都是非回文的，因此，是非回文语言的完整表征。 $L$ $(*)$ $(*)$

在解决原始问题时，我们现在知道，可以通过编制命令获得反回文语言的几个示例。我们也知道这样做不会将自己限制在语言的子类中，从而失去通用性。 $L$ $<$

关于“这些语言是否可以正常使用？”的问题：

为了证明任何抗回文是不规则的，可以通过矛盾假定它是规则的。 $L$

由于通过逆转保留了规律性，因此也是有规律的。 $L^R$
由于规律性工会保留，，这是集所有的非回文的，也是有规律的。 $L \cup L^R$
由于补体保留了规律性，所以所有回文集都是正规的。

从最后的陈述中，我们可以通过抽水得出一个矛盾。（例如，请参阅此处的解决方案）

— 志
source

或更简单地说，您可以观察到，为了使DFA接受回文的语言，它需要在分析字符串的后半部分时考虑字符串的前半部分-但是DFA具有有限数量的状态，并且无法存储任意长的字符串。出于同样的原因，显示了括号内的语言是不规则的（括号深度可以任意大）。

— 凯文

我知道了，但是如果有

具有形式

是否表示每种语言都是上下文无关的？或者，如果不是CFL，则必须在

吗？因为每个订单

都可以使用TM 在

计算出来。

L

$L$

L = {x | x < x^{R}}

$L=\{ x | x<x^R \}$

R

$R$

<

$<$

R

$R$

— Marik S.

@MarikS。下面的rici语法证明

可以是上下文无关的。我很确定某些

是非递归的，因为有无数这样的语言-在上面的证明中，我们可以对

和

之间的第一个进行无数的选择，每种组合都给出一个不同的

。所以这样的语言的基数是相同的

，这是不可数。

L

$L$

L

$L$

x

$x$

x^{R}

$x^R$

L

$L$

{0, 1}^{N}

$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$

— 2016年

值得一提的是，这是一种针对反回文语言的简单的无上下文语法：

\begin{aligned} S & \to 0 S 0 ∣ 1 S 1 ∣ 0 X 1 \\ X & \to ϵ ∣ X 0 ∣ X 1 \end{aligned}

$\begin{align} S &\to 0 S 0 \mid 1 S 1 \mid 0 X 1 \\ X &\to \epsilon \mid X 0 \mid X 1 \end{align}$

（实际上，这是@shreesh提出的反回文语言，对小于运算符使用字典比较。）

— 里奇
source

得出更明确的描述：

。

L = {x 0 y 1 x^{R} | x, y \in {0, 1}^{*}}

$L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$

— 克劳斯·德拉格