我几乎不了解依赖类型理论。来自维基百科：
从属类型是其定义取决于值的类型。
从我的类型理论课程中，我记得一个从属类型是：
由类型索引的类型族。
但是我对依赖类型，细化类型和hoare逻辑感到困惑。
因为从Depenedent VS细化类型来看，细化类型看起来像Hoare逻辑。除了仅允许陈述必须满足的陈述之外，还有哪些功率改进类型还提供什么（看起来与Hoare Logic几乎相同）？
相较于细化类型，从属类型还提供了哪些其他功能？并且从属类型比优化类型+ Sat / Constraint求解器更强大。
任何人都可以举例说明。
Answers:
Paul-AndréMelliès和Noam Zeilberger最近的工作对此进行了探索。特别是，论文的函子是类型细化系统和类型细化系统的Isbell对偶定理。还有关于第一个演讲的视频。
我认为，由于人们认为特定系统具有代表性，因此细化类型存在很多混淆，这导致这些特定系统的目标和细节归因于总体思想。简称为类型细化系统对独立存在的术语进行分类，而（非细化的）依赖或其他类型则是术语的一部分。这听起来很熟悉，甚至可能有点矛盾。
如果您查看“咖喱”类型（外部）与“教堂”类型（内部），则可能会出现潜在的熟悉且可能矛盾的部分。当我们想到“咖喱”类型时，我们认为类型是对已经具有含义的未类型术语进行分类。在“教堂”类型中，唯一存在的术语是类型良好的术语，即类型约束是我们语法的一部分。因此，我要说的是，Curry样式类型系统实际上是对未类型化术语进行细化的类型细化系统，而Church-style样式系统不是类型细化系统。这意味着，例如，我们可以将简单类型的lambda演算视为类型优化系统或非优化类型系统。
当然，没有人说我们的术语必须是无类型的术语。我们也可以将类型细化系统应用于类型化的术语，并且从历史上看，这是产生细化类型（通过该名称）的上下文。但是，软打字的应用说明了与上述情况更接近的情况。
到目前为止，我还没有对依赖类型进行任何说明。原因是这是一个完全正交的问题。我会说原型依赖型系统通常以教堂风格呈现，因此不是类型优化系统，而是NuPRL（基于计算型理论，是最原型依赖型理论的变体，Martin-Löf类型理论）就像我已经描述的那样，它是一个公然的类型优化系统。在条款可能NuPRL甚至有类型！诚然，“ PRL”代表“程序优化逻辑”的事实也可能是小费。另一方面，ML的细化类型描述了细化类型系统，可能是术语的起源，无论如何都不是从属类型系统。
至于Hoare三元组，它们是类型优化系统。在第一篇论文中，它们实际上用作类型优化系统的示例。但是，Hoare类型理论给出了可以被视为具有Hoare三元组的语言的非提炼型系统。
要获得有关不同系统的“功能”的答案，您需要指定特定的（家族）从属类型系统和特定的（家族）精炼类型系统。术语“从属类型系统”涵盖了非常广泛的类型系统，而“类型优化系统”则更为广泛。即使那样，这些术语也不是互斥的，因此它也不是“依赖类型系统”和“优化类型系统”之间的比较。但是，如果使用“依赖类型系统”，则考虑的是Coq之类的东西，而考虑“精炼类型系统”，则是“ 液体类型 ”之类的东西那就好一面了。一般认为，Coq足够强大，可以处理实际上的所有数学。您可以从字面上实现并证明Coq中的SMT求解器是正确的，然后再使用它；可以制定与子集类型非常相似的模拟。（NuPRL实际上具有子集类型。）另一方面，SMT求解器通常限于可确定的理论，而Coq没有这样的限制。许多系统（例如“液体类型”）都具有用于限定谓词的有限且不可扩展的语言。（当然，用“依赖类型系统”可以指Dependent ML，用“类型细化系统” NuPRL [也可以是依赖类型系统]来表示是另一种方式。）