为什么硬决策问题的计数变体不会自动变硬？

众所周知，2-SAT在P中。但是，对给定的2-SAT公式即＃2-SAT的解数进行计数似乎是＃P-hard的，这似乎很有趣。也就是说，我们有一个问题的例子，对于这个问题来说，决策很容易，但是很难计数。

但是考虑一个任意的NP完全问题（比如3-COL）。我们可以立即说一下其计数变体的硬度吗？

我真正要问的是：为什么我们需要另一个证明来显示硬决策问题的计数变体也是＃P-hard？（有时您会看到简化的缩减，从而保留了解决方案的数量，依此类推）。我的意思是说，如果计数问题很容易，您也可以自动解决决策问题！那么怎么可能不难呢？（好的，也许很难，但是我不确定对硬的定义是什么）。

并非自动定理“决定困难意味着计数困难”的原因是，这两个语句使用了“困难”的不同定义。

• 如果多项式时间多一归约（aka Karp归约，aka多项式时间映射归约）下的NP-完全，决策问题就很难。

• 如果在多项式时间图灵归约（又名Cook归约）下为#P -complete，那么计数问题就很难。

这样，如果一个决策问题是NP-完全的，我们知道相应的计数问题是NP-困难的，但这不是什么是硬计数问题的定义。作为#P -complete似乎是一个并非只是强得多声明NP难的-户已经表明，＃P -完全问题是很难在随机降低整个多项式层级，所以，作为一个复杂的类，＃P感觉更接近到PSPACE比到  NP。

朝相反的方向前进，显然可以肯定的是，如果从FP的意义上说计数问题很容易  ，那么决策问题就在  P中。毕竟，如果您可以有效地进行计数，则可以肯定地说出答案是否为非零。但是，仅仅因为计数版本是“不难”（即不是#P -complete）并不意味着它是“容易”的（即在  FP中）。拉德纳定理扩展到  #P，因此，如果FP$\,\neq\,$**＃P **则它们之间存在无限的层次结构，其中包含不同的复杂度类，因此对于这些类中的任何一个类，我们的“不难”计数问题都可以完成，因此（在FP中）不容易  。

话虽如此，但我认为对于假设问题为NP -complete意味着计数版本为#P -complete 的猜想，我们没有任何反例。因此，这不是一个定理，但根据经验是正确的。