有效地插入到列表中，以最小化反转次数

假定两个可比较项的列表：u和s。令INV（u）为u中的求逆数。

我正在寻找一种有效的算法，以在不增加INV（u）的情况下将s的项插入u中。

基本上，我想将对象插入列表，同时保持“尽可能排序”，同时保持第一个列表的顺序。

例：

u = [4,6,2,9,7]
INV(u) = 3 ((4, 2), (6, 2) and (9, 7)

s = [8,3,10]

one optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 8, 9, 7, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (8,7))

different optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 9, 7, 8, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (9,8))

如您所见，没有独特的最佳解决方案。

对于任何想法或方向，我都会感到高兴。

这是对trevore答案的详细说明。该评论太长，无法包含评论，其中包含他的解决方案的证明（或者至少是我的理解）。

您可以证明，在任何最佳解中，的元素都将显示为有序。$s$如果不是，则假设并且它们在最佳解决方案中以相反的顺序出现。让σ 1是间元件的数目小号1和s ^ 2是小于小号1和β 1是那些比更大的数量小号1。限定σ 2和β 2类似地对于小号2。需要注意的是σ 1$s_1 < s_2$$\sigma_1$$s_1$$s_2$$s_1$$\beta_1$$s_1$$\sigma_2$$\beta_2$$s_2$和 β 2 ≤ β 1。交换 s $\sigma_1 \leq \sigma_2$$\beta_2 \leq \beta_1$$s_1$和将通过改变倒位数- β 1 + β 2 - σ 2 + σ 1 - 1，其为至多-1。$s_2$$-\beta_1 + \beta_2 - \sigma_2 + \sigma_1 - 1$

不难看出元素可以独立插入。$s$由于的元素看起来是有序的，因此它们不会“感觉”彼此的存在。也就是说，来自的元素对对反转计数没有贡献。为此，最好在线性时间内插入s的中值。然后，递归地将s的元素小于中位数的左侧插入中值，并将元素大于中位数的右侧插入。$s$$s$$s$$s$

让中位数插入位置，则此运行时间满足T （| s |，| u |）= T （| s | / 2 ，| u | − k ）+ T （| s | / 2 ，k ）+ | ü | + | s | ，线性| s $k$$T(|s|, |u|) = T(|s| / 2, |u| - k) + T(|s| / 2, k) + |u| + |s|$$|s|$因素是找到的中位数并改组s的元素。通过归纳很容易表明T （| s |，| u |）= O （| s | log | s | + | u | log | s |）。$s$$T(|s|, |u|) = O(|s| \log |s| + |u| \log |s|)$

注意对的依赖 s | 这是最佳的。由于用空u解决问题等同于仅使用比较对s排序。对|的依赖 ü | 也是最佳的，因为单例列表s和列表u的问题必须要求线性工作。$|s|$$u$$s$$|u|$$s$$u$

好的，这是我的解决方案：

一种观察（我或多或少证明了）是，最优解将始终是s递增排序的最优解。这产生了O（（| u | + | s |）* log（| s |））算法。

要找到单个元素的最佳解决方案，请按照我在评论中所说的那样进行操作：从s中取一个元素，从左到右将其与u中的每个元素进行比较，增加一个计数器是一个取反，然后将先前计算出的数字取过来。然后使用相同的元素从右到左遍历列表，增加每个位置的计数。

这是O（| u |）。

排序s。

对于s在位置m处的中间元素：在u中找到最佳位置b（使用上面的方法）。

在m处拆分s并在b处拆分u，并用左右部分递归调用，将结果与m按右顺序连接。

u或s为空时立即停止。