出于兴趣，我试图解决Euler项目（数字总和序列）的“最近”类别中的问题 。但是我想不出一种有效解决问题的方法。问题如下（在最初的问题序列中，开始时有两个问题，但不会改变序列）：

的数字和序列是1,2,4,8,16,23,28,38,49 ....其中$n^{th}$序列的术语是和数字序列中它前面。找到序列的$10^{15}th$项。

天真的解决方案无法实现，因为它需要大量时间。我试图减少的问题，以矩阵幂的情况下（这将花费$O(log ( 10^{15}))$的时间量），但不能想出这样的复发拟合线性标准作为复发，这种序列是相当特有。可以看出，该序列由重复控制：

其中$a_n$是$n^{th}$序列的术语和$d$是给定的自然数作为数（例如数字输入返回总和时的功能。$\;d(786)=21$）。我的第二种方法是尝试在序列中找到某种模式。可以看出，序列的前几项可以写成

   a_1 = 1  
   a_2 = 1 + d( 1 )
   a_3 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) )
   a_4 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) )
   a_5 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) ) + d( 1 +  d(  
   1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) ) )

从上面的模式可以看出，可以通过以下方法生成序列的$n^{th}$项：

1. 写出$2^{n-1}$ $1$，并在其间加上符号。
2. 保留第一个，然后 在接下来的2 0项上应用函数d，然后在接下来的2 1项上应用函数d，然后在接下来的2 2项上应用函数d，依此类推。$1$$d$$2^{0}$$2^{1}$$2^{2}$
3. 然后将上述方法递归应用于所应用的每个函数的参数。$d$

例如，如果n = 3，我们执行以下操作：

    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + d( 1 ) + d( 1 + 1 ) + d( 1 + 1 + 1 + 1 )
    1 + d( 1 ) + d( 1 + d(1) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 +d( 1 ) ) )

通过动态编程，我可以使用上述方法在时间O （l o g （2 10 15））中生成项，这再次没有天真的解决方案好。$n^{th}$$O(log ( 2^{10^{15}} ) )$

编辑1
可以观察到的另一件事是。例如d （a 6）= d （23 ）= d （32 ）= 5。但是我无法利用这一点。我再次尝试找到线性递归关系（用于矩阵求幂），但是我找不到它。$d(a_n) = d(2^{n-1})$$d(a_6)=d(23)=d(32)=5$

编辑2

下图是在较小范围内绘制序列时的图表（绘制了序列的前项）。 $10^6$

PS：我知道不建议向Euler项目寻求解决方案。但是我只想一个新的方向或暗示，因为我过去几天一直在圈子里移动。如果那也不可接受，那么我可以在建议的情况下删除问题。

您的序列在oeis.org/A004207中描述为数字总和。有样序列模9一些好点已经重复图案，这股与数字根oeis.org/A065075和oeis.org/A001370。如果这些性质是有用的，则是开放问题（因为对于 n - t h数，没有封闭形式的方程式）。$(1, 2, 4, 8, 7, 5)^\infty$$n-th$

此序列的一些属性值得一提：
当计算数时，您只需要存储计数器（以知道计数器是哪个数字）和数字本身即可。重新启动时，不需要任何其他操作，因为下一个数字是当前数字+其数字的总和。$n-th$

首先采取一些步骤来确保速度，将数字放入数组中是很好的，避免了朴素的mod和div计算，这很昂贵。这可以使速度不断提高，但有时确实很重要。

从起点开始，您可以计算下一个和下一个，它可以计算到某个点，这一点就是位数的变化。
更重要的是，模式随着数量的增加而变化。
与数字本身相比，数字总和很小，因此在大多数操作中仅数字部分会发生变化。
那么我们到底可以缓存什么呢？

我们知道，对于具有相同数字总和的两个数字，获得下一个数字的加法将是相同的。那下一个呢？

萨沙

剧透警报，下面是非常明确的缓存模式

它取决于其他条件，例如运行中不会改变的数字，我称其为shift，起始金额为start。

进行一些任意运行，例如，并从0到9开始，我们可以缓存从起点到100的每个模式$100$$0$$9$$100$，对元素数量进行计数（以知道如何处理计数器，这需要给定号），并记住它。 $n-th$

好。到目前为止，涵盖任何起点，超过会有什么变化？ 不幸的是，这种模式无法正常工作，因为如果您尝试$100$
决策开始等于 1，下一个数字是完全计算的，但第二个休息。 $100$$1$

在这里，我们必须覆盖shift设置为并开始设置为0。这也意味着计算不同班次的表格。 $1$$0$

我们真的需要计算所有这些吗？不是，不是
表的一部分只是另一个开始项。
例如，从开始给出了相同的序列移位。 那么，我们需要计算更长的缓存吗？ 不，我们将其计算出来以转移更改以获取另一次运行，因此它将节省大量内存。 $1, 2, 4, 8$

现在，当表格被覆盖时，我们从初始设置开始，从表格中选择总和，添加计数器，然后看到：从到101，更新变量并跳转到218，重复步骤305- > 406- > 517- > 607 -> 719- > 805- > 904- > 1003。 好。现在怎么办？ $1$$101$$218$$305$$406$$517$$607$$719$$805$$904$$1003$

我们可以继续，直到移位高于计算得出。
进一步讲，我们可能会即时构建更多的运行，预先计算更大的运行或观察其他模式（例如我们可以局部重用已计算的表）。
看看不同$100, 1000, 10000, 100000, 1000000...$
$100$

由于您要求输入“新的方向或提示”，而我不知道答案，因此我将其保留在此处，希望对您有所帮助。一些想法：

很有可能会有模式mod 9，因为

$\forall k > 1,k \in \mathbb{Z}\quad10^k \equiv 1 \mod 9$

您可以通过归纳证明。

这意味着所有数字都等于其数字mod 9的总和。

此外， $a_n = d(a_n) \mod 9 \implies$

如果我们继续扩大这种复发率，我们得到

$a_{n} = 2^n \mod 9$

解释了模式mod 9。

$a_n = 9k + 2^n$

这里的代码比一般代码少：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#sum digits of n
def sum_digits(n):
    s = 0
    while n:
        s += n % 10
        n //= 10
    return s

#get the sequence to n digits
def calculate(n):
    retval = [1]
    for i in range(n):
        retval.append(retval[-1] + sum_digits(retval[-1]))
    return retval;

#empirically confirm that a_n = 2^n mod 9
def confirmPow2(a):
    count = 0
    for i in a[:10000]:
        if((i%9) != (2**count % 9)):
            print "false"
        count = count + 1

#find gaps divisible by 9 in a subset of a
def find9Gaps(a):
    count = 0
    S = []
    for i in a[:10000]:
         S.append(((2**count ) - i)/9)
         count = count + 1
    return S

#repeatedly sum the digits until they're less than 9...
#gives some interesting patterns
def repeatedDigitSum():
    for i in range(1000, 1100):
         print "=========for ",i
         while i > 9:
                 i = sum_digits(i)
                 print i 


a = calculate(10**6)
b = find9Gaps(a)
plt.plot(range(len(b[:100])), b[:100])
plt.show()

该图（前100个）看起来是指数级的，但我认为这并不完美。

这是输出

>>> plt.plot(range(len(b[5:60])), np.log2(np.array(b[5:60])))
>>> plt.show()

我的最后一件事是，如果您将一个数字的数字相加，然后将结果数字的数字相加，然后重复一次，您最终会得到该数字mod 9。

鉴于上述有关10 mod 9的幂的事实是有道理的。

它给出了一个有趣的数字序列。

编辑：显然，这称为“数字根”。