NP-Complete中可以有任何有限的问题吗？

我的讲师发了言

任何有限的问题都不能是NP完全的

当时他在谈论数独，说的是8x8数独存在有限的解决方案，但是我不记得他到底在说什么。我写下了我引用的便条，但仍然不太了解。

如果我没记错的话，数独是NP完整的。派系问题也是NP-Complete，如果我有4-Clique问题，这不是NP-Complete的有限问题吗？

如果有限问题是NP完全的，则P = NP，因为每个有限问题都有多项式时间算法（甚至是恒定时间算法）。

$n^2 \times n^2$

最后，4-clique问题虽然不是一个有限的问题（输入图的大小不受限制），却是一个容易解决的问题，它具有多项式时间算法。

您老师的陈述不正确，或者您可能听不清楚他的说话。正确的陈述是

$L$$|L| \geq 1$$P = NP$

$P \neq NP$$|L|>1$$\emptyset$$P=NP$$P \neq NP$

Sudoku或国际象棋不是NP完整的（如Yuval所指出的），因为它们的输入是有限尺寸的9x9或8x8棋盘（我正在谈论决策版本，即数独是否有解决方案或国际象棋是否有制胜策略）。在国际象棋中，假设您重复一个位置，则视为平局。

回想一下：如果问题X满足两个条件，则它是NP完全的：

a）在NP中-即，可以在多项式时间内验证X的任何猜想解。

b）对于NP来说是完整的-即NP中的每个问题Y都有多项式时间约简，可将Y的一个实例转换为X的一个实例（因此，任何求解X的多项式时间程序也将在多项式时间内求解Y ）。

我们可以同意9x9的数独满足（a）。（b）事情跌落了。更一般而言-问题（无论是NP还是其他问题）通常具有大小为N的实例，其中N 的值任意大；对于NP中的已知问题，当然是这样。从这样的问题减少到最大可能问题的大小不可能是有效的实例到实例的减少，因为前者总是（无限）比后者更多。这就是为什么Sudoku必须先推广到NxN个矩阵，然后才能考虑NP完整性。