压缩两个整数，不考虑顺序

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将有序对（x，y）与无序对{x，y}（集合）进行比较，然后从理论上将信息相比较，差异仅是一位，因为x是第一个还是y都需要一个单独的位来表示。

因此，如果给定集合{x，y}，其中x，y是两个不同的32位整数，是否可以将它们打包为63位（而不是64位）？应该可以从63位结果中恢复原始的32位整数，但不能恢复其顺序。

information-theory data-compression

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是的，可以。如果 $x<y$ ，则将集合映射 $\{x,y\}$ 到数字

f (x, y) = y (y - 1) / 2 + x .

$f(x,y) = y(y-1)/2 + x.$

很容易证明 $f$ 是双射的，因此可以对其进行唯一解码。此外，当 $0 \le x < y < 2^{32}$ ，我们有 $0 \le f(x,y) < 2^{63} - 2^{31}$ ，所以这个集合映射 $\{x,y\}$ 于63位的数字 $f(x,y)$ 。为了解码，可以在使用二进制搜索 $y$ ，或采取平方根： $y$ 应该大约。 $\lfloor \sqrt{2 f(x,y)} \rfloor$

— DW
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1

就像1 + 2 + 3 + ... + y + x一样好！

— Troy McClure's

1

归纳为n个无序整数？:)再三考虑，许多具有足够大的偏导数的四角形将完成这项工作

— Troy McClure

4

另一个可能因其低计算成本而吸引人的答案：如果x和y不同，则x-y-1或y-x-1（当然都是mod

）都适合31位。如果较小，则串联和;的最后31位。否则串联，的最后31位。通过将前32位作为一个数字，再将前32位，后31位和常数1（模

）相加来恢复两个数字。

2^{32}

$2^{32}$ x-y-1yx-y-1xy-x-1

2^{32}

$2^{32}$

— 丹尼尔·瓦格纳

1

您的方法也可以很好地推广到添加更多的数字，因为第一个数字“就在那”可以链接

— Troy McClure

4

@DW：您能否也补充一下您如何提出这种表示形式？否则，似乎您是凭空抽出的。

— Mehrdad

9

作为DW答案的补充，请注意，这是组合数系统的特殊情况，该系统紧凑地将非负整数的严格递减序列映射为 $k$ $c_k > \cdots > c_1$

N = \sum_{i = 1}^{k} (\binom{c_{i}}{i}) .

$N = \sum_{i=1}^k \binom{c_i}{i}.$

这个数字有一个简单的解释。如果我们按字典顺序对这些序列进行排序，则计算较小序列的数量。 $N$

要进行解码，只需为分配最大值，使得 $c_k$ 和解码 $\binom{c_k}{k} \leq N$ 为序列。 $N - \binom{c_k}{k}$ $(k-1)$

— 纤维脂质
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4

个集合中无序数字对的总数为。无序对的总数量不同的数字是。它需要比特来表示的有序对数的，并且如果有较少的位，则可以代表了一个空间的元件，以 $N$ $N(N+1)/2$ $N(N-1)/2$ $2 \log_2(N) = \log_2(N^2)$ $N^2/2$ 。无序的不必要对的数量略多于有序对的数量的一半，因此您无法在表示中节省一点；无序不重复对的数量略少于一半，因此您可以节省一点。

对于易于计算的实用方案（为2的幂），您可以进行按位表示。取其中是XOR（按位异或）运算符。所述一对可以从回收或。现在，我们将寻找技巧在第二部分中节省一位，并为和赋予对称角色 $N$ $a = x \oplus y$ $\oplus$ $\{x,y\}$ $(a, x)$ $(a, y)$ $x$ $y$ 因此无法恢复订单。给定以上基数计算，我们知道该方案在的情况下不起作用。 $x=y$

如果则存在一些不同的位位置。我会写为的第i比特（即），并且同样地对于。令取和不同的最小位的位置：是最小的，以使。是最小使得 $x \ne y$ $x_i$ $i$ $x$ $x = \sum_i x_i 2^i$ $y$ $k$ $x$ $y$ $k$ $i$ $x_i \ne y_i$ $k$ $i$ ：我们可以恢复从。设为或，并删除第位（即或 $a_i = 1$ $k$ $a$ $b$ $x$ $y$ $k$ $b = \sum_{i<k} x_i 2^i + \sum_{i>k} x_i 2^{i-1}$ ） -使施工对称的，挑如果和，并挑选如果和。使用作为该对的紧凑表示。可以通过计算设置的最低位，在中的该位置插入0位（产生或），然后使用该数字的xor来恢复原始对。 $b = \sum_{i<k} y_i 2^i + \sum_{i>k} y_i 2^{i-1}$ $x$ $x_k=0$ $y_k=1$ $y$ $x_k=1$ $y_k=0$ $(a,b)$ $a$ $b$ $x$ $y$ （产生该对中的另一个元素）。 $a$

在此表示形式中，可以是任何非零数字，可以是具有一半范围的任何数字。这是一个健全性检查：我们准确地获得了预期的无序对表示的数量。 $a$ $b$

在伪代码中，与^，&，|，<<，>>，~是C状位运算符（XOR，与，或，左移，右移，补体）：

encode(x, y) =
  let a = x ^ y
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let z = if x & (1 << k) = 0 then x else y
  return (a, (z & low_mask) | (z & ~low_mask) >> 1)
decode(a, b) =
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let x = (b & low_mask) | ((b & ~low_mask) << 1)
  return (x, a ^ x)

— 吉尔斯“别再邪恶了”
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0

$(2^{32}\times 2^{32} - 2^{32})/2 = 2^{31}(2^{32}-1)<2^{63}$

— 马丁·布拉斯·佩雷斯·皮尼利亚
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