组合器演算的基础集

众所周知，S和K组合器构成了组合器演算的基础集，从这个意义上说，所有其他组合器都可以用它们来表示。还有Curry的B，C，K，W基础，具有相同的属性。这样的基础一定是无限的，但我不知道其他任何一个。

我知道有很多单一组合器基础，例如Iota组合器和Fokker构建/审查的各种其他组合器。但是，这些是“不合适的”组合器，这意味着它们是用其他组合器而不是纯抽象来表示的。¹ 出于这个问题的目的，我只对由适当的组合器组成的基集感兴趣。

是否还存在对其他可能基础集的研究？理想的做法是按照Wolfram 对其他各种计算模型进行的研究，其中系统地研究了各种组合。我尤其对以下事情的简单示例感兴趣：

• 包含I组合器的最小基础集。（我用“最小”表示如果删除任何成员，它将不再是基础，因此SKI基础将不计。）
• 包含Y组合器或组合器（又名模仿鸟）的最小基础集$\omega$

除S，K和B，C，K，W之外，有关组合逻辑其他可能基础的任何其他信息也将非常有帮助。

广而言之，我对作为纯机械系统的组合演算的研究感兴趣，即作为带有标记节点的二叉树上的一组转换规则的研究，不需要给出任何特定的语义解释。任何采用这种方法的资源指向都将不胜感激。（要嘲笑一只模仿鸟则采用了这种方法，但却给出了一个不完整的表述，而Barendregt的Lambda微积分与语义紧密相关，这使我很难提取我感兴趣的纯粹机械方面。）

¹ _{确切地说：在lambda演算中，适当的组合器是形式的表达式，其中仅具有，等作为自由变量，并且不包含任何抽象。因此，例如是适当的组合器，但不是合适的组合器，因为它包含应用于lambda项的。P （X 1，X 2，... ）X 1 X 2（λ X ý ž 。X （Ž Ž ））（λ X 。X （λ ÿ 。Ý ））$(\lambda.x_1x_2\dots P(x_1,x_2,\dots))$$P(x_1,x_2,\dots)$$x_1$$x_2$$(\lambda x y z. x(z z))$$(\lambda x. x(\lambda y.y) )$$x$}

通过将组合器从一个基础与执行类似操作的基础中切换出来，很容易建立其他基础。例如，从BCKW，可以切换为（因为围绕两个开关而言）和为（因为这两个重复的东西）。您知道这仍然是基础，因为您可以从中恢复和：和。Ť = （λ X ý 。ÿ X ）w ^ ω = （λ X 。X X ）C ^ w ^ C ^ = 乙（Ť （乙乙Ť ））（乙乙Ť ）w ^ = Ç （乙ω （乙乙Ť ）$C$$T = (\lambda x y. y x)$$W$$\omega = (\lambda x. x x)$$C$$W$$C = B(T(B B T))(B B T)$$W = C(B \omega(B B T))$

包含取消组合器（如K），组合组合器（如B），置换组合器（如C），复制组合器（如W）和标识组合器I的任何一组组合器都是基础。如果I组合器恰好是从您的其他四个组合器派生的，那么仅这四个组合器就足够了。

这意味着像B，T，M，K，I之类的东西也是基础，其中Tab = ba和Ma = aa。确实，B，T，M，K就足够了，因为我可能是从B，T，M，K派生的（这不容易证明；证明是先从B，T，M推导S然后取I =瑞典克朗）。