对数复杂度的算法直觉

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我相信我对，和这样的复杂性有一定的了解。 $\mathcal{O}(1)$ $\Theta(n)$ $\Theta(n^2)$

就列表而言，是一个常量查找，因此它只是成为列表的开头。是我遍历整个列表的位置，而对于列表中的每个元素遍历该列表一次。 $\mathcal{O}(1)$ $\Theta(n)$ $\Theta(n^2)$

除了只知道位于和之间，有没有类似的直观方法来掌握它？ $\Theta(\log n)$ $\mathcal{O}(1)$ $\Theta(n)$

— 坎佐
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8

log n用于“搜索”：认为二进制搜索

— Suresh 2012年

2

使用

O

$O$ 来问这个问题是不正确的，因为它仅表示一个上限。例如，恒定时间为

O (\log n)

$\mathcal{O}(\log n)$ 。

θ

$\theta$ 会更合适。参见meta问题：meta.cs.stackexchange.com/questions/182/…–

— Aryabhata

1

对SO的更多信息：这是什么

O (\log n)

$O(\log n)$ 意味着什么？。

— Ran G.

注意事项：在传统的Turing Machine设置中，所有算法均为

，因为它们需要至少一次读取输入的每个符号。二进制搜索可以在

完成，因为例如，我们可以保证列表已排序。

Ω (n)

$\Omega (n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— chazisop 2012年

1

后来的贡献：从定义上来说，数字

的底

对数就是将

自身乘以

。

b

$b$

n

$n$

b

$b$

n

$n$

。例如

b^{l} = n ⟺ l = l o g_{b} (n)

$b^l = n \iff l = log_b(n)$

。因此，如果您有一个数字

并且想找出

只需将其除以

直到达到

（为简单起见，假设

是

的幂）即可。除法数等于

。表现出这种除法行为的算法的运行时间为

2^{3} = 8 ⟺ l o g_{2} (8) = 3

$2^3 = 8 \iff log_2(8) = 3$

n

$n$

l o g_{b} (n) = ?

$log_b(n) = ?$

b

$b$

1

$1$

n

$n$

b

$b$

l o g_{b} (n)

$log_b(n)$

。

O (l o g (n))

$O(log(n))$

— saadtaame 2012年

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的复杂性通常与细分连接。以列表为例时，请想象一个列表，其元素已排序。您可以在时间内在此列表中搜索-由于列表的排序性质，实际上您不需要查看每个元素。 $\Theta(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$

如果查看列表中间的元素并将其与搜索的元素进行比较，则可以立即说出它是位于数组的左半边还是右半边。然后，您可以只取一半，然后重复该过程，直到找到它或找到一个列表，其中包含一项要比较的项目。

您可以看到列表有效地将每一步减半。这意味着，如果获得长度为的列表，则到达一个项目列表的最大步骤为。如果您有项目的列表，则只需要步；对于的列表，则只需步，。 $32$ $5$ $128 = 2^7$ $7$ $1024 = 2^{10}$ $10$

正如你可以看到，指数在始终显示的必要步骤。对数用于精确地“提取”该指数，例如。它还可以概括列出不是2的幂的长度。 $n$ $2^n$ $\log_2 2^{10} = 10$

— 卡雷尔·佩特拉内克（Karel Petranek）
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4

应该注意的是，这仅O(log n)在列表具有恒定时间随机访问的情况下。在更典型的列表实现（链接列表）上，这是O(n log n)

— asm

1

由于缺少指针，二进制搜索不适用于列表。它通常在数组上完成。

— 拉斐尔

二进制搜索在列表上很好用。由于比要求/充分/实用要复杂得多，因此这毫无意义。

— 安东

@AndrewMyers搜索链接列表更准确

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

— phant0m 2012年

1

@ phant0m是的，我花了一点时间才弄清楚，这是假设您是从当前位置开始移动，而不是每次都从头开始移动。

— asm 2012年

38

就（平衡）树而言（例如，二叉树，因此所有均以2为底）： $\log$

正在获取树的根 $\Theta(1)$
是从根到叶的步行 $\Theta(\log n)$
正在遍历树的所有节点 $\Theta(n)$
是对树中两个节点的所有子集的操作，例如，任意两个节点之间的不同路径的数量。 $\Theta(n^2)$
-上面对于节点的任何子集的推广（对于常数） $\Theta(n^k)$ $k$ $k$
是在节点上的所有可能的子集的操作（所有可能的大小的子集，即，）。例如，树的不同子树的数量。 $\Theta(2^n)$ $k=1,2, \ldots, n$

— 冉G.
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5

除此之外，

来自两件事：1.）递归

Θ (l o g l o g n)

$\Theta(log\,log\,n)$

和2。）对大小为

东西进行二进制搜索，即对树的高度进行二进制搜索。

T (n) = T (\sqrt{(} n)) + 1

$T(n) = T(\sqrt(n)) + 1$

l o g (n)

$log(n)$

— mcorley 2012年

17

为了使成为可能，您需要能够通过恒定时间操作相对于按比例任意减小问题大小。 $O(\log n)$ $n$

例如，对于二进制搜索，您可以通过每次比较操作将问题大小减少一半。

现在，您是否必须将问题大小减少一半，实际上没有。即使可以将问题搜索空间减少0.0001％，该算法也是，只要它用于减少问题大小的百分比和用于运算的常量保持不变，它就是算法，它不会是一个快速的算法，但是它仍然是，具有很大的常数。（假设我们正在讨论以2为底的） $O(\log n)$ $O(\log n)$ $O(\log n)$ $\log n$

— 李健
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1

如果“下切量”不恒定会怎样？

— Svish 2012年

@Svish如果您可以以一个积极的速度解决问题，尽管它可能不再是一个严格的界限，但它仍将是

算法。负面率很难说。在这种情况下，做出此假设的目的是使答案相当简单，因为该问题有其自身的优点，因此非常欢迎您单独提出这个问题。

O (\log n)

$O(\log n)$

— 肯李

是的，我的意思是问题搜索空间总是在减少，但不一定保持恒定的速度。只是想着您“只要减少问题大小的百分比和所使用的操作保持不变，这就是O（log n）算法”；如果名称不相同，则百分比不同。

— Svish 2012年

8

考虑将十进制数转换为二进制的算法 $n$

while n != 0:
   print n%2, 
   n = n/2

此while循环运行次。 $\log(n)$

— Pratik Deoghare
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1

当然，该程序会循环

次，但是通常当我们谈论

复杂度时，

是您输入的大小。这里您输入的大小已经

，所以我想说这个程序只是线性的（以

）

\log n

$\log n$

O (f (s))

$O(f(s))$

s

$s$

s = \log n

$s=\log n$

O (s)

$O(s)$

— jmad 2012年

@jmad对。但是此示例确实使您直观地了解了log（n）。

— Pratik Deoghare 2012年

@jmad我也可以使用算法来生成随机数，但我希望它尽可能简单。

— Pratik Deoghare 2012年

8

是的，在到之间，但比更接近。什么是？对数函数是指数的反函数。让我从指数开始，您应该对对数有一个更好的了解。 $\log(n)$ $1$ $n$ $1$ $n$ $\log(n)$

考虑两个数字和。是乘以自己倍。您可以尽力计算数字，但是可以计算数字吗？我敢打赌你不能。为什么？是一个很大的数字，它大于宇宙中所有原子的数目。反思一下。它是一个巨大的数字，它使您可以为每个原子命名（数字）。指甲中的原子数量可能约为数十亿个。应该足以容纳任何人（双关语:)）。 $100$ $2^{100}$ $2^{100}$ $2$ $100$ $100$ $2^{100}$ $2^{100}$ $2^{100}$

现在，在两个数字和，是的对数（以为底）。比小得多。任何人都应该在家中拥有种不同的物品。但是，对于宇宙来说就足够了。在考虑对和时，请考虑家与宇宙。 $100$ $2^{100}$ $100$ $2^{100}$ $2$ $100$ $2^{100}$ $100$ $2^{100}$ $\log(n)$ $n$

指数和对数从哪里来？他们为什么对计算机科学如此感兴趣？您可能没有注意到，但是无处不在。您是否支付了信用卡利息？您只需为自己的房屋支付了费用（还算不错，但是曲线很合适）。我喜欢认为指数来自产品规则，但也欢迎其他人提供更多示例。您可能会问什么是产品规则？我会回答。

假设您有两个城市和，它们之间有两种选择。它们之间的路径数是多少？二。那是微不足道的。现在说，还有另一个城市，您可以通过三种方式从到现在和之间有多少条路径？六对吧你是怎么得到的？你数了吗？还是您将它们相乘？无论哪种方式，都很容易看出两种方式都给出相似的结果。现在，如果您添加可以通过四种方式从到达的城市，那么和之间有多少种方式 $A$ $B$ $C$ $B$ $C$ $A$ $C$ $D$ $C$ $A$ $D$ ？计数，如果你不相信我，但它是等于是。现在，如果有十个城市，并且从一个城市到下一个城市有两条路径，它们的排列方式就好像它们是一条直线。从头到尾有几条路？如果您不信任我，请乘以它们，但我会告诉您有，即。看到，是指数结果和是对数。与相比，是一个很小的数字。 $2\cdot 3\cdot 4$ $24$ $2^{10}$ $1024$ $2^{10}$ $10$ $10$ $2^{10}$ $10$ $1024$

对数函数对等于对（注意是对数的底数）。如果您multipy 与自身倍（注意，是对数的底）你。非常小，与相比是如此之小，以至于它是房屋的大小，其中是宇宙的大小。 $\log_2(n)$ $n$ $n$ $2^n$ $2$ $\log_b(n)$ $b$ $b$ $n$ $\log(n)$ $n$ $n$

实际上，函数的执行与常量函数非常相似。它们的确以增长，但是增长非常缓慢。如果您将程序优化为以耗时一天进行的对数时间运行，则可能会在几分钟内运行它。检查有关Euler项目的问题。 $\log(n)$ $n$

— 拉维
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3

虽然写得很好，但这个答案除了“

确实很小” 之外几乎不包含任何信息。

\log (n)

$\log(n)$

— 拉斐尔

3

我试图给人以直观的印象。

— 拉维

5

为了继续您的主题，就像反复猜测在列表中的位置，并被告知“较高”或“较低”（以索引表示）。 $O(\log n)$ $x$

它仍然基于列表的大小，但是您只需要访问一部分元素。

— 调度员
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4

如果我们有一个分治法，并且只对一个子问题进行一次递归调用，这是Master定理中的第二种情况，即非递归部分的时间复杂度为，则该算法的复杂度将为。 $\Theta(\lg^k n)$ $\Theta(\lg^{k+1} n)$

换句话说，当我们有一个分治法，对一个问题进行递归调用，该问题的大小是当前问题的常数，并且非递归部分中的时间为（常数），则该算法的运行时间将为。 $\Theta(1)$ $\lg n$

该二进制搜索算法是经典的例子。

— 卡夫
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1

直觉是您可以将数字减半（例如n），然后再将其减为1就是O（lg n）。

为了进行可视化，请尝试将其绘制为二叉树，并通过解决此几何级数来计算级别数。

2^0+2^1+...+2^h = n

— 用户1234
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欢迎光临本站！您说的当然是正确的，但我看不出它对现有答案有什么帮助。已经有几个答案说对数是在达到1之前可以除以2的次数，而Ran的答案已经说对

是具有

叶子的二叉树的高度。

\log n

$\log n$

n

$n$

— 大卫·里希比