CLRS的D元堆问题

解决以下问题时我感到困惑（问题1-3）。

题

甲d进制堆就像是一个二进制堆，但（带有一个可能的例外）非叶节点具有d孩子而2个孩子。

1. 您将如何在数组中表示d -ary堆？

2. n个元素的d元堆的高度分别是n和d？

3. 在d -max-heap中给出EXTRACT-MAX的有效实现。根据d和n分析其运行时间。

4. _{在d-最大堆中给出INSERT的有效实现。根据d和n分析其运行时间。}

5. _{给出INCREASE-KEY（A，i，k）的有效实现，如果k <A [i] = k，则标记一个错误，然后适当地更新d -ary矩阵堆结构。根据d和n分析其运行时间。}

我的解决方案

1. 给一个数组$A[a_1 .. a_n]$

   $\qquad \begin{align} \text{root} &: a_1\\ \text{level 1} &: a_{2} \dots a_{2+d-1}\\ \text{level 2} &: a_{2+d} \dots a_{2+d+d^2-1}\\ &\vdots\\ \text{level k} &: a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k-1}d^i} \dots a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k}d^i-1} \end{align}$

   → 我的表示法似乎有点复杂。还有其他更简单的方法吗？

2. 令h表示d -ary堆的高度。

   假设堆是完整的d元树

   $$1+d+d^2+..+d^h=n\\ \dfrac{d^{h+1}-1}{d-1}=n\\ h=log_d[n{d-1}+1] - 1$$

3. 这是我的实现：

   EXTRACT-MAX(A)
   1  if A.heapsize < 1
   2      error "heap underflow"
   3  max = A[1]
   4  A[1] = A[A.heapsize]
   5  A.heap-size = A.heap-size - 1
   6  MAX-HEAPIFY(A, 1)
   7  return max
   
   MAX-HEAPIFY(A, i)
   1  assign depthk-children to AUX[1..d]
   2  for k=1 to d
   3      compare A[i] with AUX[k]
   4      if A[i] <= AUX[k]
   5          exchange A[i] with AUX[k]
   6          k = largest
   7  assign AUX[1..d] back to A[depthk-children]
   8  if largest != i
   9      MAX-HEAPIFY(A, (2+(1+d+d^2+..+d^{k-1})+(largest-1) )
   

   • MAX-HEAPIFY的运行时间：

     其中 Ç 我表示的成本我上述第线。

     $$T_M = d(c_8*d + (c_9+..+c_13)*d +c_14*d)$$ $c_i$

   • EXTRACT-MAX：

     $$T_E = (c_1+..+c_7) + T_M \leq C*d*h\\ = C*d*(log_d[n(d-1)+1] - 1)\\ = O(dlog_d[n(d-1)])$$

   → 这是有效的解决方案吗？还是我的解决方案有问题？

1. 您的解决方案是有效的，并且遵循d -ary堆的定义。但是正如您指出的那样，您的表示法有些复杂。

   您可以使用这两个以下功能来检索父我个元素和Ĵ的第子我个元素。

   $\text{d-ary-parent}({\it i}) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ \lfloor (i-2)/d + 1 \rfloor$

   $\text{d-ary-child}(i, j) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ d(i-1)+j+1$

   显然，。您可以验证那些函数来检查d-ary-parent （d-ary-child （i ，j ））= $1 \le j \le d$$\text{d-ary-parent}(\text{d-ary-child}(i,j)) = i$

   同样容易看到的是，二进制堆是 -ary堆的特殊类型，其中d = 2，如果将d替换为2，则将看到它们与书中提到的函数PARENT，LEFT和RIGHT匹配。$d$$d=2$$d$$2$

2. 如果我正确地理解了您的答案，您使用的是几何级数。在您的情况下，您可以得到，显然是 log d（$h = log_d(n\,d-1+1) - 1$，这实际上是一个有效且正确的解决方案。但是仅仅为了处理恒定的波动，您可能想要写 Θ （log d（n ））。$\log_d(n\,d) - 1 = \log_d(n) + \log_d(d) - 1 = \log_d(n) + 1 - 1 = \log_d(n)$$\Theta(\log_d(n))$

   $c$$\Theta$

3. $AUX$$\text{d-ary-parent}$$\text{d-ary-child}$

   $\text{EXTRACT-MAX}$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O(d\ \log_d(n(d-1)))$

   $O(d\ \log_d(n(d-1))) = O(d(\log_d(n) + \log(d-1))) = O(d\ log_d(n) + d\ \log_d(d-1))$

   $d \ll n$$d \log_d(d-1)$$O(d\log_d(n))$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O$$\Theta$

4. CLRS本书已经提供了INSERT程序。看起来像这样：

   $\text{INSERT}(A, key)\\ \ \ \ \ A.heap\_size = A.heap\_size + 1 \\ \ \ \ \ A[A.heap\_size] = -\infty\\ \ \ \ \ \text{INCREASE-KEY}(A, A.heap\_size, key)$

   $O(\log_d(n))$

5. 就像INSERT一样，INCREASE-KEY在课本中也定义为：

   $\text{INCREASE-KEY}(A, i, key)\\ \ \ \ \ {\bf if}\ key < A[i]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf error} \text{"new key is smaller then current"}\\ \ \ \ \ A[i] = key\\ \ \ \ \ {\bf while}\ i > 1\ and\ A[i] > A[\text{d-ary-parent}(i)]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ A[i] \leftrightarrow A[\text{d-ary-parent(i)}]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ i = \text{d-ary-parent(i)}$

   $O(\log_d(n))$

第二个问题的答案是h = log _d（n（d-1）+1）-1所以，h = log _d（nd-n + 1）-1