Turing Machine（TM）能否确定暂停问题是否适用于所有TM？

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在此站点上，关于TM是否可以决定暂停问题的问题有很多变体，对于其他所有TM还是某些子集而言。这个问题有些不同。

它询问暂停问题是否适用于所有TM的事实是否可以由TM确定。我相信答案是否定的，并希望检查我的推理。

将元暂停语言定义为由TM组成的语言，这些语言决定TM是否暂停。 $L_{MH}$

L_{M H} = {M : \forall_{M^{'}, w} M (M^{'}, w) accepts if M^{'} (w) halts, rejects otherwise}

$L_{MH} = \{ M : \forall_{M',w} M(M', w) \text{ accepts if $M'(w)$ halts, rejects otherwise}\}$

$L_{MH}= \emptyset$ 由于停止问题，。

因此，标题问题可以更精确地表述：是否？ $L_{MH} = \emptyset$

根据赖斯定理，不确定语言是否为空。
在这两种情况下，如果是或不是re，则不确定。 $L_{MH}$ $L_{MH} = \emptyset$
因此，不确定。 $L_{MH} = \emptyset$

这证明TM不能决定暂停问题是否适用于所有TM。

我的理解正确吗？

更新：我试图证明TM不能为看起来似乎正确的“证明”的某些定义“证明停止问题”。下面是为什么我认为这是正确的说明。

我们可以创建一个TM，它通过以下方式生成。TM取一个元组。它模拟进行迭代。如果接受所有暂停的对，并拒绝所有其他对，则接受。否则，如果错误或无法停止，则拒绝。 $M_{MH}$ $L_{MH}$ $(M_i,M_j,w_k,steps)$ $M_i(M_j, w_k)$ $steps$ $M_i$ $(M_j, w_k)$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ 不会停止，因为它必须为每个评估无数对。此外，所有都将无法停止。将无法接受或拒绝任何因为它无法从模拟中得知所有都将无法停止。因此，它定义的语言不是可判定的。 $M_i$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ 反映了我对TM证明暂停问题的含义的直觉。其他建议（例如拒绝所有或输出已知证明）使事先了解到暂停问题适用于所有。这不能算作证明，因为的前提是它证明的结论，因此是循环的。 $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_{MH}$

— s
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您的修复无济于事。无参数的问题总是可以通过图灵机始终输出“是”或始终输出“否”的机器来确定的。不幸的是，您的论点行不通。哥德尔定理的真正类似物是莱斯定理。

— Yuval Filmus

5

“它询问是否暂停问题适用于所有TM，是否可以由TM确定。” -该查询没有意义，因为暂停问题并未“应用于”一组TM。至少，我不知道那是什么意思。

— 拉斐尔

4

您误解了赖斯定理。赖斯定理指出（在特殊情况下）语言是不确定的。它并没有说明是不确定的。实际上，是可以确定的。

{M : L (M) = \emptyset}

$\{ M : L(M) = \emptyset \}$

\emptyset

$\emptyset$

\emptyset

$\emptyset$

— Yuval Filmus

7

我认为误解在于“决定X”一词的含义。形式上，X应该是字符串的谓词，然后机器决定X是在输入s上输出X（s）真值的机器。您的谓词是什么？它的输入是什么，什么时候是真的？

— Yuval Filmus

5

问题是类别错误。可判定性是语言（字符串集）的属性，而不是数学命题。任何形式为“是否可确定？”的问题其中是不是一组字符串只是没有任何意义。

X

$X$

X

$X$

— David Richerby '16

5

另一种观点：让为ZFC中的语句“ ” 的形式化；（平凡）我们有： $\varphi$ $L_{MH} = \emptyset$

集合是可判定的； $P = \{ x \mid x \mbox{ is a valid proof of } \varphi \mbox{ in ZFC}\}$
您还可以构建一个TM，它枚举ZFC中的证明，并在找到证明或证明时暂停；显然，停止了； $M$ $\varphi$ $\neg \varphi$ $M$
集合是不确定的 $\{ M \mid M \mbox{ decides } P \}$

— Vor
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决定停止问题的图灵机的语言是可以决定的。决定它的图灵机总是输出NO。

换句话说，是可确定的。 $\emptyset$

您可能会对图灵机的语言为空的不确定性感到困惑。也就是说，没有图灵机根据输入确定。 $T$ $L(T) = \emptyset$

— Yuval Filmus
source

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空语言是可以决定的。处理它。

— Yuval Filmus

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判断停止问题的图灵机的语言为空。空语言是可以决定的。因此，决定停止问题的图灵机的语言是可以决定的。

— Yuval Filmus

1

问题在于，TM是否可以确定图灵机的语言，从而确定暂停问题为空。如上所示，TM无法做到这一点。

— 2016年

1

@yters您是否在问TM是否可以证明该语言为空？通过简单地输出现有的已知证明，它可以轻松地做到这一点。

— user253751 '16

3

TM 证明某物甚至意味着什么？

— Yuval Filmus

2

您误解了赖斯定理。

在这种情况下，赖斯定理说，您不能确定问题“ T是否确定空语言？”。

您的问题不在于确定是否由任意图灵机确定空语言。您的问题是是否存在一个M来决定空语言。

这样的M确实存在。您甚至可以做得更好：您实际上可以构造这样的M并提供证明它确定了空语言的证明。

无法确定的一般问题并不意味着您无法解决特定的实例。实际上，通过枚举所有证明的常用设备，存在一种图灵机：

接受存在证明其确定为空语言的证明的每台图灵机
拒绝所有存在无法确定空白语言的证明的图灵机
如果无法通过任何一种方法证明，都不会停止。

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维基百科关于可判定性的定义：

递归语言是存在图灵机的一种形式语言，当图灵机出现任何有限的输入字符串时，该图灵机将停止并接受该字符串是否为该语言，否则停止并拒绝。图灵机始终停止运行：它被称为决策程序，据说可以决定递归语言。

换句话说，如果有一个图灵机确定所有输入字符串，则可以确定。对于每台Turing机器来说，这都是无法确定的，它无法确定所有输入字符串，这意味着它可以不决定任何字符串，也可以决定某些字符串，但是至少有一个（但实际上至少是无限个）字符串无法确定。

在您的情况下，平凡的图灵机不会为每个输入决定是否，但是恰好知道。 $L$ $L = \emptyset$ $L_{MH} = \emptyset$

— 用户名
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