如何将子集总和减少到分区？

也许这很简单，但是我很难解决这个问题。我想将“ 子集总和”减少为“ 分区”，但目前看不到这种关系！

是否可以使用Levin Reduction来减少此问题？

如果您不明白，请写清楚！

令$(L,B)$是子集和的一个实例，其中$L$是数字的列表（多集），而$B$是目标和。让$S = \sum L$。令$L'$是通过将加到形成的列表$S+B,2S-B$$L$。

（1）如果有一个子列表求和到乙，然后大号'可以被划分为两个相等的部分：中号∪ { 2 小号- 乙}和大号∖ 中号∪ { 小号+ 乙}。实际上，第一部分的总和为B + （2 S - B ）= 2 S，第二部分的总和为（S - B ）+ （S + $M \subseteq L$$B$$L'$$M \cup \{ 2S-B \}$$L\setminus M \cup \{ S+B \}$$B+(2S-B) = 2S$。$(S-B)+(S+B) = 2S$

（2）如可以被划分为两个相等的部分P 1，P 2，则存在的子列表大号求和到乙。实际上，由于（S + B ）+ （2 S - B ）= 3 S并且每个部分的总和为2 S，因此这两个元素属于不同的部分。不失一般性，2 小号- 乙∈ P 1。P 1中的其余元素属于$L'$$P_1,P_2$$L$$B$$(S+B)+(2S-B) = 3S$$2S$$2S-B \in P_1$$P_1$和总和乙。$L$$B$

@Yuval Filmus提到的答案是错误的（仅在没有负整数的情况下才是正确的）。考虑以下多重集：

目标总和为。我们知道没有子集。现在，我们为分区问题构造实例。添加两个新元素是2 σ - 吨= 12和σ + 吨= 3。多重集现在是： { - 5 ，2 ，2 ，2 ，2 ，2 ，3 ，12 }和总和为20。$-2$$2\sigma-t = 12$$\sigma+t = 3$

该分区的问题解决了答案给子集在这里，2种新的元素在同一子集（有没有其他办法可以分割成一半的总和）。因此，这是一个反例。正确答案如下：

添加一个值为的元素。现在，多组的总和为2 t。解决分配问题，它将得出总和t的 2个子集。只有一个分区将包含新元素。我们选择另一个总和为t的分区，并通过将其简化为一个分区问题解决了子集问题。这就是链接的解释。$2t-\sigma$$2t$$t$$t$

这是一个简单的证明：

显而易见，可以在多项式时间内验证SET-PARTITION。给定一个分区$P_1,P_2$只是将两者相加并验证它们的和彼此相等，这显然是一次多项式时间验证（因为求和是多项式运算，并且我们最多只能执行$|X|$许多求和）。

证明的核心在于将SUBSETSUM减为PARTITION；为此给定$X$和值$t$（子集之和查询）我们形成一组新的$X'=X \cup \{s-2t\}$其中$s=\sum_{x \in X}x$。看到这是减少：

• （$\implies$）假设存在一些$S \subset X$使得$t=\sum_{x \in S}x$然后我们将具有

  $$\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$$ ，我们将有一个$S\cup \{ s-2t \}$和$X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$形成的分区$X'$

• （$\impliedby$）假设有一个分区$P_1',P_2'$的$X'$，使得$\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$。注意，这引起一个自然分区$P_1$和$P_2$的$X$，使得WLOG我们有

  $$\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$$

因此，从一个溶液$t=\sum_{x \in S}x$可以形成一个分区之前$P_1 =S\cup \{ s-2t \}$，$P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$从一个分区并且相反地$P_1',P_2'$，我们可形成soltuion $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$，因此，映射$f:(X,t)\rightarrow X'$是一个减少（因为$(X,t)$是在语言/组SUBSETSUM$\Leftrightarrow X'=f(X,t)$被（在语言/集合“ PARTITION”中），可以清楚地看到转换是在多项式时间内完成的。

子集总和：

输入：{a1，a2，...，am} st M = {1..m}并且ai为非负整数，并且S1 {1..k}和Σai（i∈S）= t

划分：

输入：{a1，a2，...，am}和S⊆{1，···，m} stΣai（i∈S）=Σaj（j∉S）

分区Np证明： 如果证明者为验证者提供了partitions（P1，P2），则验证者可以轻松计算P1和P2的总和，并在线性时间内检查结果是否为0。

NP_Hard：SubsetSum≤pPARTITION

令x为SubsetSum的输入，并且x = <a1，a2，...，am，t>和Σai（i从1到m）= a

情况1：2t> = a：

令f（x）= <a1，a2，...，am，am + 1>其中am + 1 = 2t−a

我们想证明x∈SubsetSum⇔f（x）∈PARTITION

因此存在S⊆{1，...，m} st T = {1..m}-S和Σai（i∈T）=

令T'= {1 ... m，m + 1}-S因此Σaj（j∈T'）= a-t + 2t-a = t

恰好是Σai（i∈S）= t，它表示f（x）∈PARTITION

现在我们还将证明f（x）∈PARTITION⇔x∈SubsetSum

因此存在S⊆{1，...，m，m + 1} st T = {1，...，m，m + 1}-S和Σai（i∈T）= [a +（2t-a ）-t] = t

它显示Σai（i∈T）=Σaj（j∈S）因此m +1∈T和S⊆{1，···，m}和Σai（i∈S）= t

所以x∈SubsetSum

情况2：2t = <a：

我们可以检查，但是这次am + 1是a−2t

该链接很好地描述了归约，分区到子集和和子集到分区的两个简化。我认为这比YUVAL的答案更为明显。 有用的链接