如何证明这种语言不是上下文无关的？

我有以下语言

$\qquad \{0^i 1^j 2^k \mid 0 \leq i \leq j \leq k\}$

我正在尝试确定它适合哪种Chomsky语言课。我可以看到如何使用上下文相关的语法实现它，因此我知道它至少是上下文相关的。似乎没有上下文无关的语法是不可能的，但是我在证明这一点上遇到了问题。

这似乎是通过了分叉抽取的引理，因为如果将全部放在任何单词的第三部分（包含所有$uvwxy$$2$ s的部分）中。它可以根据需要将和x泵抽多次，并且将保留该语言。如果我错了，你能告诉我为什么吗，如果我是对的，我仍然认为这种语言不是上下文无关的，那么我怎么证明呢？$v$$x$

您可以使用奥格登引理（例如将所有0标记为零）强制将泵送在某些地方。

假设它是上下文无关的，那么奥格登的引理给您一个，给它w = 0 p 1 p 2 p，这是该语言的语言，并且您将所有0都“标记”了出来。然后任何因式分解瓦特= û X ý ž v必须是这样的，有一个0在X或ž。您还可以假设x = a k和z = b m，因为x x和z $p>0$$w=0^p1^p2^p$$w=uxyzv$$0$$x$$z$$x=a^k$$z=b^m$$xx$$zz$ 必须是您语言的子字符串。

1. 如果则w = u x 2 y z 2 v的 0大于1$z=0...0$$w=ux^2yz^2v$

2. 如果和z = 1..1，则w = u x 2 y z 2 v的 1大于2。$x=0..0$$z=1..1$$w=ux^2yz^2v$

3. 如果和z = 2..2，则w = u x 2 y z 2 v的 0大于1。$x=0..0$$z=2..2$$w=ux^2yz^2v$

因此，不是您的语言。因此，它不是上下文无关的。$ux^2yz^2v$

有关其他技术，请参见以下讨论：如何证明语言不是上下文无关的？

抽词问题应该解决您有关单词第三部分的问题；请注意，当拆分，u v n w x n y的任何组合也都使用该语言，包括当n = 0时。试试看$z = uvwxy$$uv^nwx^ny$$n = 0$

编辑：正如jmad所说，抽水引诱就像一个游戏：

1. 抽水引理给你一个$p$
2. 您给字词的长度至少为$s$$p$
3. 泵送引理重写它是这样的：一些条件下（| v X ý | ≤ p和| v ÿ | ≥ 1）$s=uvxyz$$|vxy|≤p$$|vy|≥1$
4. 你给一个整数$n≥0$
5. 如果不在L中，则您赢了，L不是上下文无关的。$uv^nxy^nz$$L$$L$

因此，您要做的是陈述一个单词，将3分解为大小写，并证明每种情况下您都可以找到，从而使所得单词不在语言中。$n$

当分解，请考虑v x y可能属于的所有情况。您会注意到，如果v x y不属于2，那么很容易将0和1抽出，直到它们超过2，然后您将得到一个非该语言的单词。我的建议是，如果v x y落入2个区域，则还可以通过设置n = 0使v和y消失，因此u v n x y n z = $s=uvxyz$$vxy$$vxy$$vxy$$v$$y$$n=0$。然后，通过消除2可以得出不属于该语言的单词。$uv^nxy^nz = uxz$