几天的分配问题

我有一个可以简化为分配问题的问题。（在上一个问题中，我发现了该怎么做的。）

这意味着我们有一组代理和一套的任务以及成本函数。我们需要找到一个任务，以使总成本最小。$A$$T$$c(i,j)$

在匈牙利算法可以找到至少一个最优解。对我来说听起来不错。$O(n^4)$

我的新问题是：有给定的天数。我必须每天解决分配问题，以便每个任务每天都完成，并且没有座席两次执行同​​一任务。

我尝试过的操作：我们可以每天分别运行匈牙利算法，并根据前一天的结果限制可能的组合数量。但这会使我们在以后的某些日子陷入困境，在最有可能找不到可行的解决方案的地方。

另一个想法是以某种方式集成本地搜索以更改前一天做出的决定。但是我认为我们不能依靠这一点。

我要面对的问题实例将在附近。成本矩阵将具有许多相同的值（例如，大多数为1或无穷大，只有大约2或3）。因此，在匈牙利算法期间，有很大的空间可以在一天内创建不同的最佳解决方案。$|A| = |T| = 500$$C(i,j)$

我很高兴听到一些想法或建议如何为该问题找到一个好的解决方案。提前致谢。

在多项式时间内有一种解决方法。我将概述算法（以相反的顺序...首先执行步骤2，然后执行步骤1）。

1. 如果我们可以找到一组代理程序-任务对，使得每个任务恰好是对，每个代理程序恰好是对，并且没有一个对出现多次，那么我们可以找到分配一起涵盖了这些座席-任务对。为此，我们反复使用最大二分匹配算法，在对应的二分图中找到一个完美匹配，然后从图中删除该分配。霍尔的婚姻定理保证我们可以做到这一点。$nk$$(i,j)$$k$$k$$k$$nk$

2. 我们可以通过使用最小成本流找到步骤1中的代理任务对的最小成本集。考虑一个具有源s，接收器t和每个代理和每个任务的节点的网络。将源连接到容量为k且成本为0的每个代理。将每个任务连接到容量为k且成本为0的接收器。现在，以容量1和成本c （i ，j ）的边将代理i连接到任务$nk$$s$$t$$k$$0$$k$$0$$i$$j$$1$$c(i,j)$。确保该网络中的最小成本流是积分的（因为所有容量都是积分的，并且有一个定理说这意味着存在最优的积分最小成本流），因此每个代理任务边缘上的流是或1。流1的边（i ，j ）在步骤1中形成一对对。$0$$1$$(i,j)$$1$

有很多算法可以解决最小成本流。这是线性编程的特例。对于您的大小问题，我介绍的算法不仅应该是多项式时间，而且应该是实用的。