“归纳地”和“递归地”具有非常相似的含义吗？

“归纳式”和“递归式”的含义是否非常相似？

例如，如果存在一种算法，该算法可以根据已确定的前k个成分确定其前k个+1个成分，并通过第一个成分进行初始化，从而确定n维矢量，那么您将其称为递归还是归纳工作？我一直在“递归地”使用，但是今天有人“归纳地”使用它。

不，但不是出于其他人给出的原因。递归与归纳之间的区别不在于递归是“自上而下”而归纳是“自下而上”。归纳与所谓的“原始递归”同构，但总的来说，递归比归纳严格得多。

自上而下与自下而上的区别是微不足道的-任何“自上而下”的原始递归程序都可以机械地转换为“自下而上”的东西。实际上，任何归纳证明都可以转化为递归程序。在归纳结构演算的框架中，如果您想证明每个自然数都是无色的，则可以将其写为一个函数，该函数通过递归调用构造一个证明n为无色的证明，从而证明n是无色的。 1是无足轻重的。

归纳的关键因素是，事物是根据较小的事物来定义的，并且它们经过有限的多个步骤后才能“自下而上”。自然数是归纳的，因为每个自然数要么是0，要么是较小自然数的后继。列表是归纳的，因为每个列表要么为空，要么可以分解（“展开”）为一个元素和一个较小的列表。

有时，递归程序并不是用较小的东西编写的。例如，使用以下Collat​​z功能：

fun collatz(n) 
   if n <= 1
      return 0;
   else if n % 2 == 0
     return 1 + collatz(n / 2)
   else
     return 1 + collatz(3 * n + 1)
end

该函数既无自顶向下也不自底向上，因此不会对自然数产生归纳。

可能会有一个命令来归纳地对待它，但是对于大多数事情来说，根本没有办法。无限流上的函数就是一个很好的例子。实际上，流是“共归”类型的典型示例。

鲍勃·哈珀（Bob Harper）的“编程语言实用基础”可以免费在线获得，它很好地介绍了归纳，共归和递归类型。

对我而言，这主要是观点问题。如果我根据较小的对象定义对象，则可以归纳地进行，因此是自下而上的。如果我通过将问题分解为较小的部分来解决问题，并且以同样的方式将其解决，则将其称为递归，那就是自上而下的。

（编辑）PS。在我们的数学姊妹系中可以看到类似的问题，即递归与归纳定义。我引用卡尔·默默特的回答：

我最好的描述是，当我们“一无所有”定义一组对象时，“归纳定义”更为常见，而当我们在已存在的对象集合上定义一个函数时，“递归定义”则更为常见。

但更重要的是：

失去睡眠不值得

不，他们不一样。而且您是对的（我假设您正在描述的算法）：它是递归的。

原因是两个单词的定义，您可以在字典或Wikipedia中阅读它们。

归纳法（假设为“数学归纳法”）专门用于证明一个论点的所有情况都是正确的。

递归专门涉及一个过程，该过程可能在同一过程中以某种方式重复。

RE：其他人的答案：

在看到其他人的答案之后，我可以理解为什么会有混淆：在定义数据结构，函数和语言时，一些理论家似乎以一种混淆的方式使用“归纳”和“递归”（请参阅​​对该问题的评论）。我认为科佩尔（Koppel）的回答（即使目前票数最高）也不能真正反映出这种困惑。既然我们在谈论一种算法，我就不会说有“归纳算法”。我认为这是不必要的分类。