什么是Beta对等？

在我目前正在阅读的lambda演算的脚本中，β等价定义为：

该 -equivalence是一个包含最小的等价。 $\beta$ $\equiv_\beta$ $\rightarrow_\beta$

我不知道那是什么意思。有人可以用更简单的方式解释它吗？也许举个例子？

我需要它来作为遵循Church-Russer定理的引理，

如果M N，则存在具有M A L L和N L. $\equiv_\beta$ $\twoheadrightarrow_\beta$ $\twoheadrightarrow_\beta$

— gna
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抱歉，如果语言不完美，我翻译了德语的引号。

— 激进的2012年

Answers:

是微积分中各项之间的一步骤关系。这种关系既不是反身的，对称的或传递的。等价关系是自反的，对称的，传递的闭合。这意味着 $\to_\beta$ $\lambda$ $\equiv_\beta$ $\to_\beta$

如果然后。 $M\to_\beta M'$ $M\equiv_\beta M'$
对于所有条款，成立。 $M$ $M\equiv_\beta M$
如果，然后。 $M\equiv_\beta M'$ $M'\equiv_\beta M$
如果和，然后。 $M\equiv_\beta M'$ $M'\equiv_\beta M''$ $M\equiv_\beta M''$
是满足条件1-4最小的关系。 $\equiv_\beta$

更具建设性的是，首先应用规则1和2，然后反复重复规则和，直到它们没有为关系添加新元素。 $3$ $4$

— 戴夫·克拉克
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好的，谢谢，我想我明白了。我的第一个假设是，

意味着M能够以某种方式被还原成N，但并不一定要保持，因为他们显然也相当于他们是否可以降低到同一个术语。我想，由于您的观点3，可以这样构造。谢谢，这很有帮助。

M \equiv_{β} N

$M \equiv_\beta N$

— 激进的2012年

关系不是无限大吗？我不是总能找到一个期限l对于M项，使得

？

L \to_{β} M

$L \rightarrow_\beta M$

— 激进的2012年

是的，但这不应该成为问题。为什么要找这样的

？

L

$L$

— 戴夫·克拉克2012年

我不知道。我只是在和我的伴侣争论，如果它总是无限大。感谢您的解释。:)

— 激进的

确实是基础集合论。您知道什么是自反关系，什么是对称关系，什么是传递关系，对吗？等效关系是满足所有这三个属性的关系。

您可能听说过关系的“传递闭包” 。好吧，只是包含的最小传递关系。这就是术语“关闭”的含义。同样，你可以谈论一个关系的“对称闭” ，关系的“自反闭” 和“等价闭包”的关系的在完全相同的方式。 $R$ $R$ $R$ $R$ $R$

随着一些想法，你可以说服自己的传递闭包是。对称闭合是。自反闭合是（其中是身份关系）。 $R$ $R \cup R^2 \cup R^3 \cup \ldots$ $R \cup R^{-1}$ $R \cup I$ $I$

我们使用符号为。这是自反传递闭包的。现在注意，如果是对称的，则关系，，，，...是对称的。因此，也将是对称的。 $R^*$ $I \cup R \cup R^2 \cup \ldots$ $R$ $R$ $I$ $R$ $R^2$ $R^3$ $R^*$

这样的等价闭合是它的对称闭，即，传递闭包。这代表了一系列步骤，其中一些是前进步骤（），有些是后退步骤（）。 $R$ $(R \cup R^{-1})^*$ $R$ $R^{-1}$

如果等价闭包与复合关系相同，则关系被认为具有Church-Rosser属性。这代表了一系列步骤，其中所有前进步骤都首先出现，然后是所有后退步骤。因此，Church-Rosser属性表示，可以通过先执行前进步骤然后执行后退步骤来等效地进行前进和后退步骤的任何交错。 $R$ $R^* (R^{-1})^*$

— 乌代·雷迪（Uday Reddy）
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如果您添加了与该问题相关的最后一句话，这将是一个很好的答案。

— 拉斐尔

一切都太简单了，以至于人们想知道“答案到底在哪里？”

— Marco Faustinelli