与无用状态的图灵机有关的问题

好的，这是我的计算理论课上的一个过去测试中的问题：

TM中的无用状态是永远不会在任何输入字符串上输入的状态。令 证明。ü 小号Ë 大号Ë 小号小号Ť

$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}} = \{\langle M, q \rangle \mid q \text{ is a useless state in }M\}.$$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

我想我有一个答案，但是我不确定是否正确。将其包含在答案部分中。

这可以从停止问题中明显地减少。如果机器在输入上没有停止，则任何最终状态都是“无用的”。给定用于停止问题的输入，构造很容易，只要且仅当停止在每个输入上停止（因此其最终状态不是无用的）。这样，如果可以确定，就可以确定停止问题，这会产生矛盾。x M ，x M x M x U S E L E S S T $M$$x$$M,x$$M_x$$M$$x$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

为了证明这一点，我们假设可以判断出矛盾。$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

创建执行以下操作的TM：$R$

• 使用轻松的堆栈将TM转换为下推自动机（即，没有LIFO要求）。这等效于详细说明状态之间过渡的有向图。P $M$$P$$M$
• 标记的开始状态。$P$
• 从开始状态开始，沿标记每个未标记节点的每个出站边缘进行广度优先搜索。
• 当搜索终止时，如果有任何与匹配的未标记节点，请接受；否则拒绝。$q$

然后创建TM =“在输入$$$S$

1. 创建TM如上所示。$R$
2. 在上运行。$q$$R$
3. 如果返回accept，则接受；如果拒绝，则拒绝 “ $R$$R$

因此，如果是的决策者，则是的决策者（接受问题）。由于事实证明不确定（请参阅第174页的迈克尔·西普瑟计算定理4.11），我们陷入了矛盾。因此，原始假设不正确，确定。ü 小号Ë 大号Ë 小号小号Ť 中号小号甲Ť 中号甲Ť 中号 ù 小号Ë 大号Ë 小号小号Ť $R$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$$S$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$