哈达玛门背后的直觉

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我试图自学量子计算，并且对线性代数有相当的了解。

我通过了NOT门，这还不错，但是后来我到达了Hadamard门。而且我被卡住了。主要是因为尽管我“理解”了这些操作，但我不理解它们的真正作用或为什么要这样做（如果有道理的话）。

例如，当Hadamard门输入它给出。这是什么意思？对于NOT门，它取并给出。对此并不清楚。它给出位的“相反”（对于叠加，它取并给出），我理解为什么是有用的；出于相同的原因（基本上），它在经典计算机中很有用。但是，例如Hadamard门在几何上对向量什么？为什么这有用？ $|0\rangle$ $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ $\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$ $\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

logic quantum-computing

— 希瑟
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哈达玛门可能是您第一次接触叠加创作。当您说出可以将Pauli门（aka ）的用途与其经典对应物联系起来时–那么，哈达玛（Hadamard）正是您离开经典类似物领域的地方。它是有用的正是同样的原因，然而，即它经常被用来形成一套通用门（如clasical 与和扇出，或与扇出单独的）。 $X$ NOTANDNOTNOR

尽管单个门在随机数生成中有些直接的作用（如Yuval Filmus所说），但当它出现在更多实例中或与其他门组合出现时，它的真正力量就会显现出来。例如，当您有以初始化的量子位，并以任意顺序对其应用一个，得到的是可以扩展为 Voilà，我们现在可以对求函数 $H$ $n$ $|0\rangle$ $H$

（ | 0 ⟩ + | 1个 ⟩ ） \otimes （ | 0 ⟩ + | 1个 ⟩ ） \otimes \dots \otimes （ | 0 ⟩ + | 1个 ⟩ ） / 2^{ñ / 2}

$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$

1个 / 2^{ñ / 2} \cdot （ | 00 \dots 00 ⟩ + | 00 \dots 01 ⟩ + | 00 \dots 11 ⟩ + \dots + | 11 \dots 11 ⟩ ）

$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$

2^{n}

$2^n$ 并行输入不同的输入！这一点，例如，在第一步Grover的算法。

另一个流行的用法是在一个量子位上使用Hadamard，然后用CNOT您刚刚叠加的量子位进行控制。参见：这是一个贝尔状态，是各种量子密钥分发协议，基于测量的计算，量子隐形传态以及许多其他应用的基石。您还可以在更多零初始化的目标qubit（具有相同控件）上重复使用来创建，这称为GHZ州

C ñ Ø Ť （ 2^{- 1个 / 2} （ | 0 ⟩ + | 1个 ⟩ ） \otimes | 0 ⟩ ） = 2^{- 1个 / 2} C ñ Ø Ť （ | 00 ⟩ + | 10 ⟩ ） = 2^{- 1个 / 2} （ | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ）

$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$ CNOT

2^{- 1个 / 2} （ | 00 \dots 00 ⟩ + | 11 \dots 11 ⟩ ）

$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$ ，也非常有用。

最后但并非最不重要的一点是，它是一种非常有用的，可逆的基础转换。因此，从某种意义上讲，另一个Hadamard门取消了先前的应用程序所做的事情（）。您可以尝试使用它“夹住”其他操作，例如，将一个放在门的目标量子位上，然后将另一个放在门的目标量子位上，然后再进行实验。或在两个量子位上（总共4个Hadamard）。自己尝试一下，您肯定会学到很多有关Quantum计算的知识！ $H^2 = I$ CNOT

关于“ Hadamard门在几何上对向量做什么”：在Bloch球上阅读，您将在各处听到它。在此表示中，Hadamard门围绕某个倾斜轴旋转了180°。保利门（NOT三分之一）也旋转180°，但仅绕或或旋转。由于这种几何运算受到严格限制，仅这些门就不能真正起到很大作用。（实际上，如果您将自己限制在 $x$ $y$ $z$ CNOT在量子计算机中，您只是构建了一个非常昂贵且无效的经典设备。）旋转倾斜的物体很重要，通常需要的另一种成分也是旋转较小角度的角度，例如45°（例如在相移门）。

— Vee
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$\left| 0 \right\rangle$ $\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

$\left| 0 \right\rangle$ $\left| 1 \right\rangle$

我建议您继续阅读量子计算。当您使用量子算法（例如Grover和Shor）时，您将了解所有这些量子门的作用。

— Yuval Filmus
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“长度为2的单位范数向量”使我感到困惑，因为我习惯于交替使用范数和长度。

— adrianN