简单多边形的独特三角剖分对偶

给定一个简单多边形的三角剖分（没有Steiner点），可以考虑此三角剖分的对偶，定义如下。我们为三角剖分中的每个三角形创建一个顶点，如果相应的三角形共享一条边，则我们将连接两个顶点。已知对偶图是最大度数为三的树。$P$

对于我的应用程序，我对以下内容感兴趣。给出一个在树最大度三，是总有一个简单的多边形使得双三角每一个（没有施泰纳点）的等于。在这里，的三角剖分可能不是唯一的，但是我要求对偶图是唯一的。$T$$P$$P$$T$$P$

当是路径时，这当然是正确的，但是当您具有3度的顶点时，这一点并不清楚。$T$

给出一个在树最大度三，是总有一个简单的多边形使得每双三角（不施泰纳点）的等于？$T$$P$$P$$T$

是。为了说明这一点，我将给出一个程序来获得看似略强的结果*：

给出一个在树最大度三，构造一个简单的多边形，使得独特的三角测量的（没有施泰纳点）有为双。$T$$P$$P$$T$

通过创建一个初始三角形启动，代表一些顶点在并添加到队列。然后，重复以下步骤，直到为空：$\Delta_0$$v_0$$T$$v_0$$Q$$Q$

• 从队列中弹出顶部元素。$v$
• 对于我们尚未为其放置三角形的每个相邻顶点，选择三角形的边和在直线通过及其相邻线段生成的圆锥区域内的点，以使三角形不与任何其他三角形相交。（见下图）设置，并添加到。$w$$AB$$\Delta_v$$D$$AB$$\Delta ABD$$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$$w$$Q$

此图像给出了给定（右侧）的可能多边形（左侧）的示例$P$$T$

要了解此过程为何起作用，首先请注意，在创建新三角形之后，线段和生成一个圆锥体，该圆锥体具有与现有三角形不相交的非空区域（另请参见前面的图），因此我们可以找到在每个步骤中找到合适的点并创建多边形。$AB$$AD$

其次，我们选择了三角形，使得之间的线段不完全位于。如果已经存在的三角形中存在一个角点，使得完全位于，则它必须位于和生成的圆锥体内。但是，由于此圆锥的不位于部分包含在较早放置的三角形生成的圆锥中，因此$CD$$P$$Q \notin \{B,D\}$$DQ$$P$$AD$$BD$$\Delta ABD$$Q$仅在存在较早放置的三角形的类似点时存在。由于第一个三角形不存在这样的点，这意味着我们添加的任何三角形都没有这样的点。

这意味着已完全在包含段的的任何角点的所有对已在构造的三角剖分中，因此三角剖分对于是唯一的（所有三角剖分都添加了相同数量的内部分段）$(X,Y)$$P$$XY$$P$$P$

注意，用这种方法构造的多边形倾向于具有相当锐利的角度。我怀疑任意大图都需要具有任意小角度的多边形，当以有限的精度绘制这些多边形时可能会出现问题。

_{*：区别在于，如果我们将“唯一”解释为同构（这与三角剖分和对偶的唯一性是一致的），那么对于具有多个均具有同构对偶的多个三角剖分的多边形，我们将是可以的。但是，可以将更多的三角形“附加”到这些多边形上，以确保某些对偶不再是同构的。}