什么是感应感应？

什么是感应感应？

我发现的资源是：

• 第5.7章末尾的HoTT书。
• nLab的文章
• 一篇名为归纳-归纳定义的论文
• 该博客文章还提到了归纳-归纳类型

前两个参考资料对我来说太简短了，后两个参考文献太技术性了。有人能用外行的术语解释吗？如果有Agda代码，那就更好了。

补充资料2016-10-03：我混合了归纳-归纳和归纳-递归（这不是我第一次这样做！）。我为这个烂摊子道歉。我更新了答案以涵盖这两个方面。

我在Forsberg＆Setzer的论文《归纳-归纳定义的有限公理化》中找到了解释。

归纳递归

归纳递归定义是一种定义$A$类型和$B : A \to \mathsf{Type}$类类型的类：A → T y p e以一种特殊的方式同时定义：

1. $A$被定义为归纳类型。
2. $B$通过对$A$的递归来定义。
3. 重要的是，定义$A$可以使用$B$。

如果没有第三个要求，我们可以先定义$A$，然后分别$B$。

这是一个婴儿的例子。归纳定义$A$具有以下构造函数：

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

类型$B$的定义为

• $B(a) = \mathtt{bool}$
• $B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$。

那么，$A$什么？首先我们有一个元素

感应感应

归纳-归纳定义还定义了类型$A$，同时定义了类型$B : A \to \mathsf{Type}$：

1. $A$归纳定义
2. $B$是归纳定义的，它可以引用$A$
3. 至关重要的是， $A$可指$B$。

重要的是要了解归纳递归和归纳感应之间的区别。在归纳递归中，我们通过提供形式为B （c（… ））= ⋯的方程来定义$B$， 其中c（… ）是A的构造函数。在感应感应定义我们定义乙通过用于形成的元件提供构造乙。

让我们将前面的例子重新表述为感应归纳法。首先，我们有归纳式tpye $A$：

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

$B$系列类型由以下构造函数定义：

• $\mathsf{Tru} : B(a)$
• $\mathsf{Fal} : B(a)$
• 如果$x : A$和$y : B(x)$则$\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
• 如果$x : A$和$y : B(x)$和$z : B(\ell(x,y))$那么$\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$。

如您所见，我们给出了生成$B$元素的规则，这些规则等于说$B(a)$是布尔（等价）布尔，而$B(\ell(x,y))$是（同构）自然数。