加权有向无环图中可能具有负权重的最小st割

我遇到了以下问题：

给定一个带实值边权重且有两个顶点s和t的有向无环图，请计算最小切角。

对于一般图形，这是NP难的，因为可以通过简单地反转边权重来微不足道地减小最大割（如果我错了，请纠正我）。

DAG的情况如何？最小切割（或最大切割）可以在多项式时间内求解吗？它是NP难的吗？如果是，是否有任何已知的近似算法？

我试图在此方面找到工作，但未能（也许我只是在搜索中使用了错误的关键字），所以我希望有人可能对此有所了解（或找到）。

— 乔治
source

最小切割的线性编程公式在哪里失败？

— 彼得·索尔

（使用en.wikipedia.org/wiki/…的符号）：对于负权重的边d_ {ij}可以任意大。即使从上方限制d_ {ij}，对于权重为负的边，它始终将取最大可能值。因此，此类程序的解决方案将不会总是产生有效的切入点。我可能是错的，因为我对此类问题不太熟悉，请纠正我。基本上，我想知道最大切割（具有任意权重）是否可以有效地解决DAG。

— 乔治

为了使这项工作有效，您必须将第一个不等式更改为等式：。我仍然不明白为什么它失败了，但是也许我错过了一些东西。我没有考虑太多。

d_{i j} = p_{j} - p_{i}

$d_{ij} = p_j - p_i$

— 彼得·索尔

我可能在这里丢失了一些东西。这样是否保证所有取整数？可以将从1 绑定到上面，但是我不确定这是否有效。问题似乎是，如果能够解决此问题，则可以通过反转边缘权重来减少最大割，这是不可能的，因为最大割是NP-hard的。但是我在这里可能是错的。

p_{i}

$p_i$

p_{i}

$p_i$

— 乔治

DAG的st max-cut NP-hard是否硬？如果图形不是DAG，则无法将不等式更改为等式，因为如果存在循环，则需要不等式。因此，在一般情况下，LP不适用于负权重。

— 彼得·索尔

您已经在注释中进一步完善了您的问题。更具体地说，您拥有一个DAG，其所有边缘都从源朝向接收器流动（也就是说，所有边缘都在从到的路径上）。您想找到两片DAG之间的最小切割，其中第一片连接到，第二片连接到。对于此问题，即使使用负边缘权重，也可以使用MIN-CUT的标准线性编程算法的变体。 $s$ $t$ $s$ $t$ $s$ $t$

我们使用与Wikipedia中相同的表示法。边的成本为。我们在每个节点上放置一个潜在函数，并令。LP为 $(i,j)$ $c_{ij}$ $p_i$ $d_{ij} = p_i - p_j$

\begin{aligned} m i n i m i z e & \sum_{(i, j) \in E} c_{i j} d_{i j} \\ s u b j e c t t o & d_{i j} = p_{i} - p_{j} \forall (i, j) \in E \\ d_{i j} \geq 0 \forall (i, j) \in E \\ p_{s} = 1 \\ p_{t} = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{minimize\ } & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} d_{ij} \\ \mathrm{subject\ to\ } & \ \ \ d_{ij} = p_i - p_j \ \ \forall (i,j) \in E \\ &\ \ \ d_{ij} \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \forall (i,j) \in E \\ & \ \ \ p_s\, = 1 \\ & \ \ \ p_t \, = 0 \end{align*}$

这些方程式保证，因为每个顶点都在 –路径上。同样，由于为非负值，因此从到任何路径上的电势都在减小。我们仍然需要证明所有均为或的LP的最佳解决方案。这是由于以下事实：上述LP的解的值是割，其中在随机选择，并且割通过放置所有顶点来获得 $0 \leq p_i \leq 1$ $s$ $t$ $d_{ij} = p_i - p_j$ $s$ $t$ $p_i$ $0$ $1$ $C_w$ $w$ $[0,1]$ $C_w$ $i$ 在第一组顶点中具有，在第二组中所有顶点。 $p_i\geq w$ $p_i < w$

— 彼得·索尔
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感谢您的出色回答彼得。并不明显，但我想我明白了。但是，我在理解有关积分解的观点时遇到了一些麻烦。

0 \leq p_{i} l e q 1

$0 \leq p_i leq 1$

— 乔治

@George：这与表明常规Min-Cut LP具有完整解决方案的论点相同。在线某处应该有一个更长的（而且更容易理解的）解释。

— 彼得·索尔

好的，我会搜索它。再次非常感谢您的帮助！

— 乔治