如果（λx。xx）具有类型，那么类型系统是否不一致？

如果类型系统可以将类型分配给λ x . x x或非终止类型(λx . x x) (λ x . x x)，那么结果是该系统不一致吗？该系统下的每种类型是否有人居住？你能证明是假的吗？

当然，可以为指定类型是不足够的不一致性：在系统，我们可以推导出 $\lambda x. x\ x$$F$

以一种非常直接的方式（这是一个很好的练习！）。但是，在此系统中，假设 omega-二阶算术的一致性，则无法很好地键入，因为这意味着所有此类良好键入的术语都将归一化。$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

此外，系统是一致的。这归因于归一化，因为它可以表明类型的任何项都不能具有正规形式，或者更简单的参数，其中为每种类型分配了一个集合，可以是或，可以看出，所有可派生类型都被分配了，而被分配了（因此不是可派生的）。$F$$\forall X.X$$\varnothing$$\{\varnothing\}$$\{\varnothing\}$$\forall X.X$$\varnothing$

后一个参数可以在一阶算术中执行。可以在一致的系统中很好地键入的事实，这在一定程度上令人不安，这是系统的不可思议性的结果。有些人对命令式逻辑系统的可信赖性提出质疑，不足为奇。但是，到目前为止，在此类系统中未发现任何不一致之处。$\lambda x.x\ x$

另一方面，为了能够做出更笼统的断言，即在一致的系统中无法正确键入，您需要在您的系统中具有足够的“逻辑结构”类型系统，以便能够清楚地定义一致性。然后，您需要证明没有正面范式（如上述形式）的术语可以具有任何类型，这也不是显而易见的！$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

可以在我对一个相关问题的答案中找到更多详细信息：https : //cstheory.stackexchange.com/a/31321/3984