二部图为平面且顶点周围无边的条件

二分图是平面的，如果它没有或。$K_{3, 3}$$K_5$

我正在寻找必要条件和/或充分条件，以允许没有边缘的平面图形“围绕”顶点集。这些是令人满意的图纸：

1. 一部分的所有顶点都绘制在一条垂直线上。另一部分的顶点绘制在平行的顶点线上。
2. 边仅在顶点处不相交。
3. 边全部在点1的两条垂直线之间的无限条中。

例如，此处所有图形（右下角除外）均为非示例。可以通过交换Q和R的位置来重绘左下图以满足条件。不能重绘顶部的两个图满足条件。

前两个图是我可以找到的唯一障碍。我的问题是：

1. 这个问题有名字吗？
2. 我错过了其他障碍吗？
3. 关于我如何证明这两个障碍（连同我遗漏的一切）的任何暗示，当然都是未成年人，都是必要和充分的。

注意，这与外部平面不同，是外部平面（可以绘制为正方形），但是不能满足我上面提到的条件。$K_{2, 2}$

您的图恰好是路径宽度为 的图，或者等效地为森林，每个森林的组成部分都是毛毛虫。毛毛虫有两个相关的特征：$1$

• 它们是树木，其中有一条路径包含每个大于的度顶点  ;$1$

• 它们是每个顶点最多具有两个非叶邻居的树。

引理1.每个毛毛虫都在你的班上。

证明。让是毛虫，让P = X 1 ... X ℓ是含有度的每个顶点的最长路径  2或更多。需要注意的是，通过极大性，d （X 1）= d （X ℓ）= 1。我们可以通过首先将P绘制为锯齿形然后在x i − 1和  x i之间添加与x i相邻的1度顶点  来生成  G的图 $G$$P=x_1\dots x_\ell$$2$$d(x_1)=d(x_\ell)=1$$G$$P$$1$$x_i$$x_{i-1}$。 $x_{i+1}$$\Box$

引理2.班上的每个图都是非循环的。$G$

证明。假设包含周期x 1 y 1 x 2 y 2 … x k y k x 1，并且它具有所需形式的图形。Wlog，x 2  高于  x 1。但是，我们必须使y 2大于  y 1，因为否则，线x 1 y 1和  x 2 y 2将交叉。通过感应，X 我+ 1  的上方 $G$$x_1y_1x_2y_2\dots x_ky_kx_1$$x_2$$x_1$$y_2$$y_1$$x_1y_1$$x_2y_2$$x_{i+1}$所有我∈ { 1 ，... ，ķ - 1 }，并且同样用于  ý的。但是，然后任何行 y k x 1要么必须离开两列顶点之间的区域，要么必须与循环中的每个其他边交叉。这与我们认为图形具有正确图形的假设相矛盾。$x_i$$i\in\{1, \dots, k-1\}$$y$$y_kx_1$$\Box$

引理3.每个未连接的毛毛虫都不在您的课堂上。

证明。令为非履带的连通图。如果它包含一个循环，那么引理2不在您的课程中  ，因此我们可以假设它是一棵树。如果它不是毛毛虫，则必须包含一个顶点x，该顶点  具有不同的邻居y 1，y 2和  y 3，每个邻居的度数至少为   2。$G$$2$$x$$y_1$$y_2$$y_3$$2$

假设我们有一个具有所需属性的图纸  。Wlog，y 2  在y 1之上  ，y 3  在y 2之上  。令z ≠ x是y 2的邻居  。边  y 2 z必须与x y 1或  x y 3交叉，这与我们假设图形具有所需形式的图形相反。 $G$$y_2$$y_1$$y_3$$y_2$$z\neq x$$y_2$$y_2z$$xy_1$$xy_3$$\Box$

定理。您的图类恰好是森林的类，每个森林的组成部分都是毛毛虫。

证明。令为图。显然， 当且仅当每个组件都在以下情况时，G才在您的班级中：如果无法按要求绘制任何组件，则整个图形都无法；如果可以根据需要绘制每个组件，则可以通过将这些组件一个接一个地绘制来绘制整个图形。现在结果遵循引理1和  3。 $G$$G$$1$$3$$\Box$

结果。你的类图是类图中没有那些或细分  ķ 1 ，3作为未成年人。$K_3$$K_{1,3}$

证明。这些是路径宽度$1$的障碍 。 $\Box$

这些实际上是您发现的障碍：您需要而不是K 4，因为后者会使K 3进入班级；的细分ķ 1 ，3恰好是你的第二个障碍。$K_3$$K_4$$K_3$$K_{1,3}$

因此，以下答案是我想出的：

正如您已经提到的，只有两种可能的情况无法重新排列。

如果我们假设一个二部图，则第二种情况是不正确的表示，因为Wikipedia将二部图定义为：每个边将的顶点连接到V中的一个顶点。$U$$V$

编辑：我看错了图，对此感到抱歉。

这让我们只能用完全子图，这是你希望避免的情况。相反，充分条件是您的二部图在其内部没有完整的子图。$K_{2,2}$

为了证明任何其他子图有效，您可以想象以下情况：

首先，我们假设没有边，并从任意边。通过添加下一条边线，我们有三种可能的情况：$e$

第一种情况是我们有一个节点，该节点既不会在与第一边缘相同的节点上开始也不会在其终点上结束。这使我们没有任何问题，我们可以继续插入。

第二种情况是，我们有一条边缘-在途中-跨过另一个已经存在的边缘。在这种情况下，我们必须将顶点或V 2（具有已存在边的顶点）与新边V 3或V 4之一交换，以便我们继续满足条件。$V_1$$V_2$$V_3$$V_4$

$V1-V4$

再一次，我们只能找到三种解决方案：要么跟踪结束连接，要么重复我们之前已经采取的步骤（跟踪所有其余步骤）。如果最终在结束节点上，则可以交换所有跟踪的节点。

$K_{2,2}$

编辑：要将此证明扩展到第二种情况，我们必须查看以下条件：

通常，如果我们有一个带有至少一个集线器（3个或更多连接）的子图，这是“相当容易”的。

$\langle k\rangle > 1$

由于我本人对此领域只有很少的知识，但仍想为您提供可能的解决方案，因此我为您链接了一篇（希望如此）适当的文章

如果有人能解决这个问题，我将有兴趣学习，特别是因为我仅遵循Fáry定理和完整二分图的思想，提出了这个解决方案。