证明Presburger算术双指数复杂性的技巧

我将其发布在MathUnderflow上，但没有任何答案，所以以为我会在这里尝试，

我正在阅读拉宾（Rabin）和菲舍尔（Fischer）的旧论文[将在可能时发布链接]，其中除其他外，证明了Presburger算术的双指数复杂性。

该证明依赖于公式的存在，其中非正式地断言了“ ”。尽管本文没有给出该公式的构造，但考虑到该界限以及我们只能使用加成这一事实，考虑到它可能是非常重要的，这让我感到惊讶！¹$I_{n}(x)$$x < 2^{2^{kx+1}}$$|I_{n}| \in O(n)$

后来我才知道，该公式的构建依赖于Fischer先前发现的“技巧”，而Volker Strassen则是独立发现的，但是我没有找到详细描述此技巧的论文！

因此，如果有人知道我正在谈论的论文，并且可以指出我的方向，甚至可以向我描述这个窍门...

立顿博客中的这篇文章包含该文章的链接以及提及[并为我提供了一个粗略的，不幸的是，不足之处]，BTW说的把戏的草图。

¹我知道这是一个模糊的描述。虽然，对于SX帖子而言，足够详细的描述可能太长了，所以我只希望一个已经了解了相关论文的人-可以使用该简短的草图-可以对我有所帮助。 。

马丁（Martin）的评论（以及尤瓦尔（Yuval）的跟进）提供了参考，对构建进行了详细的解释。

我将进行详细说明，因为我认为这是一个绝妙的证明：基本上，它执行的是PA不确定性的“通常”证明（带加法和乘法的算术运算法则），但相对而言$2^{2^{c\cdot n}}$中号Ñ（X，ÿ，Ž）中号Ñ（X，ÿ，Ž）⇔X×ÿ=ž∧X< 2 2 Ñ却是！也就是说，存在一个（短）公式，该公式表示直到那个数字的乘法，即公式使得 $M_n(x,y,z)$

$$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$$

现在，您可以通过对进行归纳来构建，这是一个关键技巧，使人想起了Karatsuba算法（用于将二进制数相乘）或某些技巧（用于矩阵乘法）：$M_n$$n$

在的定义中，您得到的形式为 $M_{n+1}(x,y,z)$

$$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$$

但您可以将其替换为

$$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$$

这个技巧允许线性增加大小，而不是指数增加（作为的函数）。$n$

还有其他一些技巧，但这是主要的技巧。当然，递归的内部很重要，但是与Karatsuba技巧的相似之处确实很惊人。