将以下问题简化为SAT

这是问题所在。给定，其中每个。是否存在子集，其大小最大为，使得所有？我正在尝试将此问题简化为SAT。我的解决方案的想法是为1到每一个变量。对于每个，如果，则创建一个子句。然后将所有这些子句放在一起。但这显然不是一个完整的解决方案，因为它不代表的约束。$k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$最多包含元素。我知道我必须创建更多的变量，但是我不确定如何。所以我有两个问题：$k$

1. 我的解决方案思路是否正确？
2. 如何创建新变量，以便可以将它们用于表示基数约束？$k$

似乎您正在尝试计算大小为的超图横向。也就是说，是您的超图，而是您的横向。标准翻译是按需表达子句，然后将长度限制转换为基数约束。{ T 1，… ，T m } $k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

因此，请使用您现有的编码，即，然后添加编码子句。Σ 1 ≤ 我≤ Ñ X 我 ≤ $\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$是基数约束。有多种不同的基数约束转换为SAT。

最简单但相当大的基数约束转换只是。这样，每个取表示约束对于大小为k + 1 的的所有子集也就是说，我们确保无法设置超过k个变量。请注意，这不是以为单位的多项式大小$\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$$k$

一些到论文的链接，它们涉及更节省空间的基数约束转换，这些$k$转换是多项式大小：

• 将伪布尔约束转换为SAT -NiklasEén和NiklasSörensson，JSAT第2卷（2006），第1-26页（很好的调查）。
• 布尔基数约束的有效CNF编码 -Olivier Bailleux和Yacine Boufkhad，《约束编程的原理和实践》，2003年，LNCS第2833卷，第108-122页（一种不错的，相当容易实现的翻译）。
• 走向布尔基数约束的最佳CNF编码 -Carsten Sinz-约束编程的原理和实践，2005年，LNCS 3709，第827-831页。
• 迈向鲁棒的基数约束CNF编码 -Joao Marques-Silva和InêsLynce，“约束编程原理和实践”，2007年，LNCS 4741，第483-497页。

如果您实际上对解决此类问题感兴趣，也许最好将它们表述为伪布尔问题（请参阅有关伪布尔问题的Wiki文章）并使用伪布尔求解器（请参见伪布尔竞争）。这样，基数约束只是伪布尔约束，并且是语言的一部分-希望伪布尔解算器可以直接处理它们，因此效率更高。

如果您不是绝对地使用普通SAT，则您的想法已经是减少MIN-ONES（相对于正CNF公式），这基本上是SAT，但是您最多可以将变量设置为true（严格来说，这是优化版本中我们尽量减少真实变量的数量）。$k$

同样，如果你在一个参数的复杂性方向头部，那么你已经基本上得到了WSAT（），其中Γ + 2 ，1是类的所有积极CNF公式（以前一样，符号可以帮助您调查）。在这种情况下，您必须开始研究哪种参数化对您的情况有用。$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

我假设您正在寻找一个显式的约简，但如果不是这样，您总是可以退回到Cook-Levin定理。