有关通过检查邻接矩阵多项式来图同构的朴素方法的文献

我描述了一种可能有假阳性的图同构方法，并且我很好奇是否有文献表明它不起作用。

给定两个邻接矩阵，检查同构的一个公认的幼稚方法是检查是否对每行的，有一个行的其是行的置换，记为。稍微更严格的是问题，是否有一个“本地同构”为其中对于所有的行。可以通过建立一个具有的矩阵来在多项式时间内完成局部同构。然后是和$G, H$$u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$如果具有循环覆盖，并且每个循环覆盖都是局部同构，则它们是局部同构的。$A$

显然，所有正则图都愚弄了此方法，因此，天真的方法要稍微少一点点，就是计算幂并检查它们的局部同构性，可以通过在发现任何使幂时设置来设置多个矩阵，并仅在最后检查循环覆盖。甚至更少幼稚的方法是找到一组多项式，确实一组算术电路，并且设置A [U，V] = 0时，我们发现任何多项式p与P（G）[U] \不\ SIM P（ H）[v]。$G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$$G^k[u]\not\sim H^k[v]$$A[u,v]=0$$p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

在我看来，这似乎是一种非常幼稚的图同构方法，因此我确信有人已经对其进行了研究并证明了一个定理，例如

Thm对于无限多个$n$存在非同构n \ x n个$n\times n$矩阵$G, H$和一个置换$\pi$，使得对于每个多项式$p$，$p(G)$和$p(H)$通过置换进行局部同构：$p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$。

问题：有这样一个定理吗？我看过文献，找不到。

如果有一个键合上的程度即在多项式使得对于每两个非同构矩阵，本地同构是通过计算反驳，或者如果存在一个易于计算的多项式族，每个都有多项式边界长度，但可能是指数级，那么我们就有一个P算法用于图同构。如果这样的多项式（或算术电路）很容易猜到，那么我们有一个coRP算法。如果总是存在一个（家族）算术电路来见证非局部同构，那么就给出了一个coNP算法。$k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$

注意，我们可以通过在小场上计算多项式，例如通过对小素数进行模运算来避免高功率矩阵的项变得太大的问题。在coNP算法中，证明者可以提供这些素数。

是的，或多或少有这样一个定理。它基本上表明，k维的Weisfeiler-Lehman过程包含（即支配）所有已知的组合方法来进行图形同构测试。（如果没有记错的话，您的具体建议应包含在二维Weisfeiler-Lehman过程中。）对于每个固定的k，都有一类针对k维Weisfeiler-Lehman过程的反例，称为Cai-Fürer -Immerman建筑。

我首先从以下方面学习了Weisfeiler-Lehman程序和Cai-Fürer-Immmerman构造的基础知识

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

关于Weisfeiler-Lehman程序的知识要比那里描述的要多得多，但是至少对Cai-Fürer-Immmerman结构的处理是完整的，足以满足您的目的。Vikraman Arvind 撰写的 “ Weisfeiler-Lehman程序 ”是一篇简短的短文，旨在邀请您参加该主题。

也许脱离我的回答的关键点是，如果您找到一种纯粹的组合同构测试方法（如您的问题中描述的方法），而该方法不被k维Weisfeiler-Lehman过程所包含（即主导），那么这本身就是一个突破，而与该方法是否实际有用无关。