没有数组的记忆

在Cormen等人的“算法简介”中，第15.3节动态编程的元素对记忆的解释如下：

记忆的递归算法为每个子问题的解决方案在表中维护一个条目。每个表条目最初都包含一个特殊值，以指示该条目尚未填写。当递归算法展开时，第一次遇到子问题时，将计算其解决方案，然后将其存储在表中。以后每次遇到此子问题时，我们只需查找表中存储的值并返回它。

并且添加了一个脚注：

这种方法的前提是我们知道所有可能的子问题参数的集合，并且已经建立了表位置和子问题之间的关系。另一种更通用的方法是通过使用以子问题参数作为键的哈希来记忆。

是否有任何众所周知的DP问题需要（或使其更容易）将已存储的值存储在字典中，而不是在（多维）数组中？

背景：如果有什么用，这个问题的原因是我正试图将（自平衡）二进制搜索树的概念激发给刚刚看过动态编程的人们。

也许有更好的例子，但这是我脑海中的一个例子：

$S,T$$\le d$$>d$

我想提供2个例子。

0-1背包问题

如果是0-1背包问题（其中W是背包的容量，N是物品的数量），有时最好使用自上而下的带有记忆的动态编程，而不是系统的自下而上的枚举大小为WxN的整个2D数组的数组（特别是在背包W的容量很大，但允许的项目重量组合的集合的基数远小于W的情况下）。

在这种情况下，为了节省存储器，可以选择使用词典进行记忆，而不是使用2D数组。

Earley解析算法

Earley解析算法可用于语句的解析，这些语句属于无上下文语法。与CYK算法（基于自底向上的DP方法并使用2D表进行记录）相对，Earley解析器将自上而下的方法与解析表结合使用来进行记录。

解析表包含部分解析的语法产生式（例如：给定产生式X→AB，并且在成功匹配该产生式的A部分之后，我们将部分匹配的产生式存储在解析图内部：X→A•B，其中点到已经匹配的部分）。

解析图表中的列数等于令牌数。但是，在一般情况下，估计每列部分解析的语法产生量可能非常棘手（取决于语法和特殊的标记顺序）。

因此，基于字典数据结构实现解析图更加方便。

在自然语言处理域中，通常Earley分析器是更方便的选择，因为它不需要语法的Chomsky范式（而CYK确实有此要求）。

根据我在竞争性编程中的经验，使用哈希表（Python dict或类似表）通常比使用数组更方便，因为任何可哈希数据类型都可以用作键，例如字符串，集合（frozenset在Python中）或类似tuple的元组等(string, int)。如果使用数组，则必须手动将所有键转换为整数（从0开始），这需要额外的工作，并且如您的原始资料所述，如果您事先不知道键的空间，则可能无法实现。因此，字典比数组更通用。

当然，如果您可以避免使用数组，那么它可能会更快，因为它避免了重复计算哈希（另一方面，它要求首先初始化整个数组，这需要时间和内存），但是编写代码可能会花费更长的时间。因为您必须完成将所有键转换为整数的额外工作。