哥德巴赫猜想和忙海狸数字？

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背景：我是计算机科学领域的外行。

我在这里阅读“忙碌的海狸”编号，发现以下段落：

人类可能永远不会知道BB（6）的价值，更不用说BB（7）或序列中任何更高的数字了。

确实，前五名和六名规则的竞争者已经使我们望而却步：我们无法以人的角度解释它们是如何“发挥作用”的。如果创造力充满了他们的设计，那不是因为人类将它放在了那里。一种理解的方法是，即使是小型的图灵机也可以编码深奥的数学问题。以哥德巴赫的猜想为例，每个4或更高的偶数是两个质数之和：10 = 7 + 3，18 = 13 + 5。该猜想自1742年以来就一直抵制证明。然而，我们可以设计一个图灵机，用哦，比方说100条规则，该规则测试每个偶数是否是两个质数之和，并在发现和发现反例时停止。推测。然后知道BB（100），原则上我们可以将此机器运行BB（100）步骤，确定它是否暂停，从而解决哥德巴赫的猜想。

斯科特·亚伦森。“谁可以命名更大的数字？” 谁可以命名更大的数字？Np，网络。2016年11月25日。

在我看来，作者似乎在暗示我们可以证明或反驳哥德巴赫猜想，这是在有限数量的计算中关于无限多个数字的陈述。我想念东西吗？

turing-machines number-theory busy-beaver

— 奥维
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@Evil我认为某些数学猜想仍然有可能无法解决，因为它们提出的证明依赖于有限数量（但超乎想象的大）的计算。我只是想检查一下戈德巴赫猜想是否不是这种情况。

— 奥维（Ovi）

请记住，所有形式证明都由有限数量的步骤组成，无论它们是否涉及“关于无数个数量的陈述”。在这种假设的情况下，要求取决于“知道”必须检查多少偶数以验证（或与之相反）戈德巴赫猜想的上限。

— hardmath

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您的问题成为数学证明的核心，通常可以将无穷的属性转换成有限的逻辑语句。“如何发生”仍在研究中。他还指出了不确定的问题与开放式数学问题的对应关系，所有开放式数学猜想几乎都有1-1的对应关系。（如果有兴趣（例如通过upvotes进行expr的话），可能会在某些时候用refs来回答这个问题）。在计算机科学聊天室和我的博客等中也有更多讨论

— vzn16年

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该陈述涉及无数个数字，但它的论证（或反驳）必须是有限的练习。如果可能的话。

令人惊讶的可能是（错误的）假设，即找到BB（100）将是一个“理论上更容易”的问题，只有出于实际原因才使它成为不可能-因为有很多机器，并且它们可以运行很长时间才能停止，如果有的话-毕竟，它们只是机器...

事实是，发现BB（N），对于n足够大，必须是一个不可克服的任务，为这两个理论和现实的原因。

— 安德烈·索扎·莱莫斯（AndréSouza Lemos）
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嗯，所以让我确保我理解它。BB（n）衡量可以在100“行”代码中使用的“步数”（对于不停止的程序）。如果我们可以使一个程序检查100个行或更少的行，并且检查每个偶数，并且不停止BB（100）步骤，那么它将永远不会停止，从而证明猜想是正确的吗？

— Ovi）

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B B (n)

$BB(n)$

n

$n$

2

n

$n$

B B (n)

$BB(n)$

B B (n)

$BB(n)$

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作者的想法是，您可以编写100行（此处为任何固定的有限数）的程序，该程序可以执行以下操作：取数字x，测试猜想。如果不是，则停止，否则继续下一个数字。

知道繁忙的海狸数量后，您可以按照该步数对这台机器进行仿真，然后决定是否暂停。从上方看，如果停止-猜想不成立，如果不停止-猜想是正确的。

— 尤金
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“如果不停止-推测是正确的”，因为在机器运行超过BB（100）个步骤之后，它将永远不会停止。

— 艾伯特·亨德里克斯

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Aaronson最近在这里与Yedidia合作，详细阐述了这个沉思/想法。[1] 他们为哥德巴赫猜想找到了一个显式的4888状态机。您可以阅读本文以了解其结构。TM很少被构造，但是基于高级语言的TM倾向于类似于编译器，并且编译器会添加许多状态。“手工构建”的TM可以轻松使用数量级较少的状态，例如100或少于100。换句话说，本文中并未真正尝试最小化状态数。总体思路是合理的，计算机科学家通常并不担心实际工作中使用的常数。

这一一般理论由Caludes（也被[1]引用）在两篇出色的论文中概述，这些论文列出了该领域的一些长期民俗定理，并已被其他作者（例如Michel）注意到。[2] [ 3] 基本上任何开放的数学问题都可以转化为不确定的问题。这是因为大多数数学问题都涉及在无数个案例中搜索反例，并且反例在算法上是可检查的（但可能效率不高或需要较大的TM等）。

同样，“非常小的” TM（以状态数计数）可以检查/等同于非常复杂的数学问题。例如，解决TM来解决collatz猜想的TM的粗略估计将是几十个州。

因此不确定性和NP完整性之间存在有趣的联系/类比。NP是一类可有效检查的问题，即可以在P时间内检查实例。不确定的问题是所有问题的一类，这些问题允许通过算法检查反例，而效率没有限制。

这是了解与繁忙的海狸问题的联系的基本方法。由于图灵的可计算性/等效性，所有无法确定的问题都是等效的。就像所有NP完全问题都可以在P时间内相互转换（减少）一样，由于图灵完备性和可计算的减少量（可能需要任意时间），所有无法确定的问题都是等效的。因此，从这个意义上讲，繁忙的海狸问题等同于停止问题，并且如果一个人可以解决繁忙的海狸，那么一个人可以解决所有开放的数学问题。

[1] 相对较小的TM，其行为独立于集合论 / Yedidia，Aaronson

[2] 评估数学问题的复杂性：第1部分 /凯德（Calude）

[3] 评估数学问题的复杂性：第2部分 /凯德（Calude）

— z
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另请参阅相关问题，我们不知道它们是否终止的最简单的程序示例是什么？/ 计算机科学

— VZN

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47个州。以及pdf的具体例子。

— Evil

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此类TM程序可以伪造戈德巴赫猜想（如果实际上是假的）。不能以这种方式证明它是正确的（但是，有见识的数学家可以这样做）。
知道BB（27）可以在某个时刻停止Goldbach搜索；但是，BB（27）（或Chaitin的Omega（27））以前将需要知道Goldbach TM是否最终停止。

因此说“ BB（27）包括对戈德巴赫的答案”是一种误导。尽管确实如此，但更重要的是：“戈德巴赫（以及许多其他数字）是数字BB（27）的先决条件”，换句话说，您在27岁时就不会挑战“ BB函数”。只需运行所有27个状态机，inkl。哥德巴赫（Goldbach），只有在事后再见BB（27）。而且，从实际的POV看，甚至BB（6）都难以捉摸。

— 麦可
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我认为如果用证明来重申亚伦森的观点，那感觉就不那么神秘了：

$C$ $C$ $C$ $C$

$C$ $C$ $n$ $BB(n)$ $C = O(BB(n))$

— 高利贷
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