用Coq证明重言式

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目前，我必须学习Coq，并且不知道如何处理or：

举个例子，尽管如此简单，但我不知道如何证明：

Theorem T0: x \/ ~x.

如果有人可以帮助我，我将非常感激。

作为参考，我使用该备忘单。

我想到的也是一个证明示例：这里是双重否定：

Require Import Classical_Prop.

Parameters x: Prop.

Theorem T7: (~~x) -> x. 
intro H. 
apply NNPP. 
exact H. 
Qed.

logic coq

— 今子
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NNPP的类型是forall p:Prop, ~ ~ p -> p.，因此使用它来证明是骗人的T7。导入时，Classical_Prop您会得到Axiom classic : forall P:Prop, P \/ ~ P.

— Anton Trunov

因此，apply classic.解决了您的目标T0。

— 安东·特鲁诺夫

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您无法在“普通” Coq中证明它，因为它基于直觉逻辑：

从证明理论的角度来看，直觉逻辑是经典逻辑的一种局限，在这种逻辑中，排除中和双重否定法则不是有效的逻辑规则。

您可以通过多种方式来处理这种情况。

介绍排除中间定律作为公理：
```
Axiom excluded_middle : forall P:Prop, P \/ ~ P.
```
在此之后，不再需要证明任何东西。
介绍一些等效于排除中间定律的公理，并证明它们的等价性。这里只是几个例子。
- 双重否定消除就是这样一种公理：
```
Axiom dne : forall P:Prop, ~~P -> P.
```
- 皮尔斯定律是另一个例子：
```
Axiom peirce : forall P Q:Prop, ((P -> Q) -> P) -> P.
```
- 或使用De Morgan的法律之一：
```
Axiom de_morgan_and : forall P Q:Prop, ~(~P /\ ~Q) -> P \/ Q.
```

— 安东·特鲁诺夫（Anton Trunov）
source

到目前为止非常感谢。我不熟悉您编写的所有内容，但会进行检查。我使用了coqIde，实际上也得到了双重否定的证明，我将其添加到问题描述中，以便稍后更加清楚。我期望有一种类似的方法可以解决上述问题。也许我应该举一个例子。

— Imago

1

@AntonTrunov您需要在您的括号中加上一些括号Axiom peirce：就目前而言，这不是皮尔斯的定律（并且实际上是trivial要证明）。

— 加莱

@gallais感谢您发现这一点！固定。

— 安东·特鲁诺夫

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正如其他人所告知的那样，除非您假设经典逻辑，否则您的重言式不是重言式。但是，由于您要对可确定的真值进行重言式，因此可以使用bool代替Prop。然后，您的重言式成立了：

Require Import Bool.

Lemma how_about_bool: forall (p : bool), Is_true (p || negb p).
Proof.
  now intros [|].
Qed.

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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