Lambda演算似乎并不抽象。我看不出重点

潜在的问题：

是什么演算为我们做，我们不能与基本功能属性和符号在中学代数一般学吗？

首先，抽象在lambda演算的上下文中是什么意思？我对“抽象”一词的理解与某种概念的概念概括-机器不同。

但是，lambda函数通过消除函数名称来防止某种程度的抽象。例如：

f(x) = x + 2
h(x, y) = x + 5 y

但是，即使不定义这些功能的机制，我们也可以轻松地讨论它们的组成。例如：

1. h(x, y) . f(x) . f(x) . h(x, y) or 
2. h . f . f . h

我们可以根据需要包含参数，也可以完全抽象以概述发生的情况。而且我们可以快速将它们简化为一个功能。让我们看一下构成2。我可以根据自己的重点来写一些学生的细节层次：

g = h . f . f . h
g(x, y) = h(x, y) . f(x) . f(x) . h(x, y)
g(x, y) = h . f . f . h = x + 10 y + 4

让我们使用lambda演算执行以上操作，或者至少定义函数。我不确定这是正确的，但我相信第一和第二个表达式会增加2。

(λuv.u(u(uv)))(λwyx.y(wyx))x

并乘以5y。

(λz.y(5z))

与其说是抽象，不如说是加法，乘法等含义的精髓。在我看来，抽象是指更高层次而不是更低层次。

此外，我正在努力了解为什么lambda演算甚至是一回事。有什么好处

(λuv.u(u(uv)))(λwyx.y(wyx))x

过度

h(x) = x + 5 y

或组合符号

Hxy.x+5y

甚至Haskell的符号

h x y = x + 5 * y

再说一遍，lambda演算对我们有什么作用，而f（x）样式的函数属性和符号是我们不熟悉的，这是我们做不到的。

Lambda演算如此重要的原因有很多。

一个非常重要的原因是lambda演算允许我们拥有一种计算模型，其中可计算的函数是一等公民。

人们不能用中学代数的语言表达高阶函数。

以lambda表达式为例

$$\lambda f. \lambda g. \lambda x. f(g(x))$$

这个简单的表达式向我们表明，在lambda演算中，函数组合本身就是一个函数。在中学代数中，这不容易表达。

在lambda演算中，很容易表示一个函数将返回一个函数作为其结果。

这是一个小例子。表达式（这里我假设具有加和整数常量的应用的lambda演算）

$$(\lambda f. \lambda g. \lambda x. f((g(x)))(\lambda x. x+2)$$

将减少到

$$\lambda g. \lambda x. g(x)+2$$

还要注意，在lambda演算中，函数是表达式，而不是形式为。这使我们从命名函数的需求中解放出来，无需在表达式的句法类别和定义的句法类别之间进行区分。$f(x) = e$

同样，当表达高阶函数变得不可能（或从符号上来说很麻烦）时，将类型分配给表达式也将遇到问题。

功能组成具有多态类型

$$\forall \alpha.\forall \beta. \forall \gamma. (\beta \rightarrow \gamma) \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow \gamma)$$

在Hindley-Milner类型系统中。

λ演算的一个很强的卖点就是类型化λ演算的精确概念。函数编程语言的各种类型系统（例如Haskell和ML系列）都基于lambda演算的类型系统，这些类型系统以数学定理的形式提供了有力的保证：

如果程序的类型正确，并且e减少为残差e ′，那么e ′也将被良好类型化。$e$$e$$e'$$e'$

如果的类型正确，则e将不会显示某些错误。$e$$e$

作为程序对应的证明尤其值得注意。Curry-Howard同构（请参见例如https://www.rocq.inria.fr/semdoc/Presentations/20150217_PierreMariePedrot.pdf）显示，简单类型的lambda演算与直觉命题逻辑之间存在非常精确的对应关系：每种类型对应的逻辑公式φ Ť。ϕ T的证明与类型T的lambda项相对应，并且该术语的beta缩减与在证明中进行切除消除相对应。$T$$\phi_T$$\phi_T$$T$

我敦促那些认为中学代数是lambda演算的不错选择的人开发出高阶，多态类型的中学代数以及适当的Curry-Howard同构概念。如果您甚至可以基于中学代数计算出一个交互式的证明助手，从而使我们能够证明使用基于Lambda微积分的证明助手（例如Coq和Isabelle）形式化的许多定理，那就更好了。然后，我将开始使用中学代数，因此，我敢肯定，会有很多其他人和我在一起。

当初次向年轻人描述功能时，它们实质上是通过图形（图）或公式来标识的；这是在形式主义数学趋势出现之前历史上对函数的理解。如今，正如第一年微积分所讲授的那样，函数是实函数，即从到R的函数。$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

Lambda演算中的函数更为通用。确切的定义取决于您的lambda演算是键入还是未键入。在纯无类型的lambda演算中，所有都是函数。这比微积分的实际功能要通用得多。

甚至过程语言有时也会使用lambda演算中的想法。C语言中的sort函数接受比较函数作为参数，用于比较元素。Lambda演算的意义更加深远–函数不仅接受函数作为输入，还可以输出它们。

Lambda演算是一种等效于Turing机器的计算模型。它是一个完整的系统。纯lambda演算没有原始词“ 5”或“ +” –可以在演算内部定义它们，就像“ 5”和“ +”不是集合论的原始词一样。（出于效率考虑，实用的编程语言在本地实现自然数。）

我怀疑您对lambda演算不印象深刻的原因之一是，它的思想已经在编程语言中泛滥成灾，以至于看起来不再具有创新性。

$x^2$$x$$x^2$

$\lambda x.x^2$$x^2$

$f$$f(x) = x^2$$f$

在编程语言中使用lambda表达式具有类似的优势；您可以在需要的地方编写该函数的功能，而不必在程序的其他位置定义一个全新的函数。

$\frac{d}{dx} x^2$$\frac{d}{dx}$$x^2$

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$\theta : V \to V^{**}$

$$\theta(v)(f) = f(v)$$

许多人发现这种双重评估表示法令人困惑和/或令人不安，以及递归使用函数的逐点定义。Lambda抽象版本

$$\theta = \lambda v . \lambda f . f(v)$$

没有那个问题。

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最后，有一个抽象的无意义定理，即“简单类型的lambda演算”与“笛卡尔封闭类别”基本上是同一件事—因此，如果您发现自己想在笛卡尔封闭类别中进行计算，则使用它可能是一个好主意只需键入lambda演算即可。

我会先说我不是这个主题的专家，但是我确实花了一些时间研究它，而在任何主题中对我来说最有趣的事情之一就是它背后的历史。因此，对我来说，了解lambda微积分的一些历史历史有助于解释为什么它有用。

简短的摘要是，在1900年代初期，集合论开始兴起，并且根据集合对数学进行了重新构想之后，一些数学家注意到，尽管集合论定义允许您声称存在某种结构，但它们并没有告诉您如何构造并计算。因此，集合理论的定义是非建设性的。数学家开始怀疑，是否有一种方法可以发展出建设性的定义，而不仅仅是证明某物是事实，而是证明它是怎样的。

来自维基百科：

在数学中，构造性证明是一种证明方法，它通过创建或提供一种创建对象的方法来证明数学对象的存在。这与非构造证明（也称为存在证明或纯存在定理）相反，后者证明了特定种类的对象的存在而没有提供示例。

$*$

然后表明，λ演算和图灵机都可以代表任何可计算的函数，因此是等效的。

理论上，任何数学函数或概念都可以以lambda微积分形式进行编码和计算。这意味着lambda演算可以是一个完全独立的数学基础，尽管显然是极其繁琐的。

Lambda演算在您不会使用它编写代码的意义上不是“有用的”，但它确实构成了用于描述程序及其动态效果的指称语义的基础。这用于程序正确性和语义含义的讨论中。显然，它也极大地影响了函数式编程语言的开发，这些语言从lambda演算中汲取了整个执行概念。

希望能有所帮助。

编辑添加：刚才我指向这篇论文，它显示了拓扑，lambda微积分和物理之间的关系。简要浏览一下，我遇到了这个奇妙的说法：

图灵机可以看作是计算机硬件的理想化，简化模型，而lambda演算更像是软件的简单模型。从诗意上讲，lambda演算描述了一个宇宙，其中一切都是程序，一切都是数据：程序就是数据。

关键在于，lambda演算是软件计算的理想化模型，因此与任何编程语言中的特定实现均无关。它为纯计算建模。

$\lambda$

Lambda演算并不是设计成一种编程语言。实际上，它是在1930年代创建的，甚至比我们拥有可编程计算机还要早几十年。相反，它是作为研究计算本身的形式模型而创建的。如果您对它这么容易表达代码或数学函数感到失望，那是因为这不是它的目的。

存在Lambda演算，因此可以创建匿名（aka Lambda）函数。如果您不删除函数名，则名称空间可能会变得混乱，并且可用函数名可能用完。这在处理所谓的“高阶函数”（由于明显的原因而返回函数（或函数指针））时尤其重要。

本质上，lambda函数等效于局部范围的变量。没有lambda函数的函数式编程类似于没有局部变量的过程式编程，这是一个糟糕的主意。

“为什么lambda演算甚至是一回事”数学家喜欢冗余。lambda微积分在数学中很少使用，因为您已经发现该符号不是很有用。

“如果您甚至可以基于中学代数计算出一个交互式证明助手，这将使我们能够证明使用基于Lambda微积分的证明助手（例如Coq和Isabelle）形式化的许多定理，那会更好。我会更好。然后开始使用中学代数，因此，我敢肯定，还会有很多其他人和我在一起。” 您听说过元数学吗？此处不涉及任何λ演算，可以证明许多coq / isabelle定理