数学猜想相当于图灵机的停止

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这个问题是关于每个数学定理是否可以简化为单个图灵机是否停止的问题。我特别对目前尚未得到证实的猜想感兴趣。

例如：维基百科说，目前尚不清楚是否有奇数个完美数字。由于可以确定一个给定的数字是否完美，因此可以编写一台图灵机，依次检查每个奇数，并在找到一个完美的数字时暂停。（此图灵机不接受任何输入。）如果我们知道该图灵机是否停止，那么我们将知道该猜想是否成立，反之亦然。

但是，作为另一个示例，双素数猜想呢？一个给定的数字是否是双胞胎对中的第一个素数是可以确定的，但是在这种情况下，我们不能仅在找到第一个对时停止，因为问题在于是否存在一个无限数。对我来说，尚不清楚是否有可能制造出并且仅当双素数猜想为真时才停止的图灵机。

我们可以肯定地使图灵机在且仅当双素数猜想在Peano算术或其他形式系统中可证明时才中止，但这是一个不同的问题，因为这可能是正确的，但在我们选择的特定系统中无法证明。

所以我的问题是

当且仅当双素数猜想为真时，才能使图灵机停止吗？（如果是这样，如何？）
通常，是否有可能使图灵机在且仅当某些给定的数学表达式为真时才停止运行？可以从正式声明中以算法方式构建图灵机吗？
如果通常不可能，是否有某种方法可以将数学语句分类为等同于停止单个Turing机器还是停止具有oracle的图灵机等？如果是这样，对于给定的语句，此分类是否可确定？

formal-languages computability mathematical-foundations

— 纳撒尼尔
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“真实”是什么意思？我们正在相对于哪种模型评估这个真相？我认为您必须首先定义。

— 杰克

我认为所有这些图灵机都只能测试可证明性。即使您没有在PE中明确遍历真实的语句，您仍在寻找另一种形式的证明。不同之处在于，奇数个完美数的存在显然不能同时是真和不可证明的，而双质数则可能。

— KarolisJuodelė16年

关于不可数集合的任何猜想都无法使用图灵机来表达。

— 拉斐尔

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您的问题由算术层次结构回答。的奇完全数的存在是一个语句，这样你就可以测试它使用机，它死机当且仅当该声明是真实的。孪生素数猜想是语句，因此你可以构造一个TM能够访问甲骨文停止其暂停IFF的声明是假的。 $\Sigma_1$ $\Sigma_1$ $\Pi_2$

从严格的逻辑上讲，您总是可以使图灵机停止iff语句成立： $\phi$

如果按住，则采取停止操作的机器。 $\phi$
如果不成立，请使用不停止的机器。 $\phi$

要查看此构造是否有效，请考虑语句的逻辑形式：

您可以通过提出一些稍微不同的问题来消除这种混乱：

\forall ϕ \exists Ť 。 ϕ \Leftrightarrow Ť 停止 。

$\forall \phi \exists T . \phi \Leftrightarrow T\text{ halts}.$

什么是一组语句，从而存在一个图灵机，它在暂停当且仅当是有效的？ $\Phi$ $\phi \in \Phi$ $\phi$

我在上文中指出，语句形成了这样一组。 $\Sigma_1$

— Yuval Filmus
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谢谢，我认为算术层次结构正是我要的。我认为我真正想问的是“从（某些子集的）数学语句到没有输入的Turing机器是否有一个可计算的总函数，以使与给定语句相对应的机器在该语句为真时停止？” 但这当然与您建议的版本相同。

— 纳撒尼尔（Nathaniel）2016年

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让，，并且让对于每个整数。对于一个正整数，让表示语句：如果一个系统 $f(1)=2$ $f(2)=4$ $f(n+1)=f(n)!$ $n \geq 2$ $n$ $\Theta_n$

小号 \subseteq {X_{一世} ！ = X_{ķ} ： 一世 ， ķ \in {1个 ， \dots ， ñ}} \cup {X_{一世} \cdot X_{Ĵ} = X_{ķ} ： 一世 ， Ĵ ， ķ \in {1个 ， \dots ， ñ}}

$S \subseteq \{x_i! = x_k: i,k \in \{1,\ldots,n\}\} \cup \{x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in \{1,\ldots,n\}\}$

$x_1,\ldots,x_n$ $1$ $(x_1,\ldots,x_n)$ $\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$ $\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

声明证明了暗示：如果存在一个孪生素数大于，则有无限多的孪生素数，请参阅本文件由A. Tyszka（在台使得无限等于中存在一个元素，该元素大于使用的定义计算得出的阈值） $\Theta_{16}$ $f(16)+3$ $W \subseteq \mathbb{N}$ $W$ $W$ $W$

也就是说，假设语句，单个查询到决定孪生素数问题。 $\Theta_{16}$ $0'$

— Apoloniusz Tyszka
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