建构逻辑中的“矛盾”是什么？

罗伯特·哈珀（Robert Harper）在《程序语言的实用基础》中说

如果一个命题是正确的意味着有一个证明，那么一个命题是错误的意味着什么呢？这意味着我们对此有反驳，表明它无法得到证明。也就是说，如果我们可以证明一个假设是真实的（有证据）与已知事实相矛盾，那么这个命题就是错误的。

但是，这就引出了一个问题：建设性/直觉逻辑中的矛盾是什么？

这是否意味着以某种方式派生？这将如何以明智的方式发生？是否需要采用形式判断？$(\bot\text{ true})$$(A \supset \bot \text{ true})$

或者，从读者的意义上来说，这也许意味着读者可以使用自己的判断力非正式地将某些东西标记为矛盾的东西？例如，将和为矛盾的命题。$a = b$$a \neq b$

在这种情况下，我们谈论建设性逻辑还是古典逻辑并不重要。如果再次阅读您的问题，您将看到它们适用于两种类型。我们需要注意的唯一区别是否定 。可以用几种经典的方式来表示它，但是从直觉上来说，最好将它用作的缩写（这正是鲍勃·哈珀在引用的段落中所暗示的意思）。但是，我们不要混淆否定和矛盾。$\lnot A$$A \Rightarrow \bot$

在这两种情况下，矛盾都是我们设法证明虚假$\bot$。我们如何以一种明智的方式派生？好吧，从一组不一致的假设来看，这将是明智的做法。$\bot$

您没有裁量权 “宣布”矛盾。您必须通过推导来证明给定的假设是矛盾的。例如，如果和那么我们可以使用以下事实：是的缩写，并以方式ponens 得出。$\bot$$a = b$$\lnot (a = b)$$\lnot (a = b)$$(a = b) \Rightarrow \bot$$\bot$

一对矛盾，通常表示为。在直觉逻辑中，通常将定义为。显然，我们可以从派生。最终，正如定义所暗示的，矛盾将是的假设推导。这是假设的，因为否则您的逻辑会不一致。$A \land \lnot A$ $\lnot A$$A \Rightarrow \bot$$\bot$$A \land \lnot A$$\bot$$\lnot$

Harper提出的观点是，证明某事物将具有证明，而反驳某事物将具有证明它暗含。然而，你可以很容易地的情况，你可以（元逻辑上）证明你是无法提供任何证明或驳斥。在这种情况下，命题既不是建设性的，也不是假的。$\bot$

下面是一种理解经典逻辑并将其与上述内容进行对比的方法（本质上是Kolmogorov的双重否定解释）：如果命题暗示矛盾，即隐含，那么我们说命题是错误的。一个命题是正确的，如果我们可以证明它不矛盾，即我们可以证明它是假的导致矛盾。在符号，是在这个意义上假如果，像往常一样。 如果，即，则在这种意义上是正确$\bot$$A$$A \Rightarrow \bot$$A$$\lnot A \Rightarrow \bot$$\lnot \lnot A$是可证明的。如果我们从这种意义上解释“真”和“假”，则可以证明被排除的中间定律具有建设性意义。也就是说，您可以证明是构造性成立的。更紧凑，可以显示。有了“ true”和“ false”的概念，如果我们可以证明不存在反驳，那么我们可以说一个命题是正确的。相反，即使我们可以在系统内证明不存在反驳，但建设性的命题也可能无法建设性地成立。$\lnot \lnot (\lnot \lnot A \lor \lnot A)$$\lnot \lnot \lnot A \Rightarrow \lnot A$