PRNG用于精确生成n个设置位的数字

我目前正在编写一些代码来生成二进制数据。我特别需要生成具有给定数量的设置位的64位数字；更准确地说，该过程应取并返回一个伪随机的64位数字，其中恰好位设置为，其余设置为0。$0 < n < 64$$n$$1$

我当前的方法涉及以下内容：

1. 生成一个伪随机数64。$k$
2. 计算的位数，并将结果存储在。$k$$b$
3. 如果，输出 ; 否则转到1。$b = n$$k$

这行得通，但看起来并不优雅。是否有某种PRNG算法可以比这更优雅地生成带有设置位的数字？$n$

您需要的是0到之间的一个随机数。然后的问题是将其变成位模式。${ 64 \choose n } - 1$

这被称为枚举编码，它是最古老的部署压缩算法之一。可能最简单的算法来自Thomas Cover。根据简单的观察，如果您有一个单词，它的长度为位，并且设置的位以最高位顺序为，则该单词在所有具有该属性的单词的词典编排顺序中的位置是：$n$$x_k \ldots x_1$

$$\sum_{1 \le i \le k} { x_i \choose i}$$

因此，例如，对于7位字：

$$i(0000111) = { 2 \choose 3 } + {1 \choose 2 } + {0 \choose 1} = 0$$ $$i(0001011) = { 3 \choose 3 } + {1 \choose 2 } + {0 \choose 1} = 1$$ $$i(0001101) = { 3 \choose 3 } + {2 \choose 2 } + {0 \choose 1} = 2$$

...等等。

要从顺序中获取位模式，只需依次解码每个位。类似于C的语言：

uint64_t decode(uint64_t ones, uint64_t ordinal)
{
    uint64_t bits = 0;
    for (uint64_t bit = 63; ones > 0; --bit)
    {
        uint64_t nCk = choose(bit, ones);
        if (ordinal >= nCk)
        {
            ordinal -= nCk;
            bits |= 1 << bit;
            --ones;
        }
    }
    return bits;
}

请注意，由于只需要不超过64的二项式系数，因此可以对其进行预先计算。

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• 封面，T。，枚举源编码。IEEE Transactions on Information Theory，第IT-19卷，第1号，1973年1月。

与通过其他方式获得的Pseudonym的答案非常相似。

可用组合的总数可以通过stars and bars方法达到，因此必须为。您尝试从中采样数字的64位数字总数显然要高得多。$c=\binom{64}{n}$

然后您需要的是一个函数，可以将您从一个伪随机数（从到引导到相应的64位组合。$k$$1$$c$

Pascal的三角形可以为您提供帮助，因为每个节点的值都精确地代表了从该节点到三角形根的路径数，并且如果所有的左转都是，则每个路径都可以代表您要查找的字符串之一。标记为，每个右转标记为。$1$$0$

因此，令为要确定的剩余位数，而为要使用的剩余位数。$x$$y$

我们知道，我们可以使用它来正确确定数字的下一位在每一步：$\binom{x}{y}=\binom{x-1}{y}+\binom{x-1}{y-1}$

$\mathtt{while}\;\;\; x>0$

$\quad \mathtt{if}\;\;\; x>y$

$\qquad \mathtt{if}\;\;\;k>\binom{x-1}{y}: \;\;\;s \leftarrow s\; + \mathtt{"1"}, \;k\leftarrow k-\binom{x-1}{y}, \;y \leftarrow y-1$

$\qquad \mathtt{else}:\; \;s \leftarrow s\; + \mathtt{"0"}$

$\quad \mathtt{else}: \;\;s \leftarrow s\; + \mathtt{"1"}, \;y \leftarrow y-1$

$\quad x \leftarrow x-1$

另一个相当优雅的方法是使用stackoverflow答案中所述的二等分。想法是保留两个单词，一个已知最多设置k个位，另一个已知至少设置k个位，并使用随机性将其中之一移到恰好具有k个位。以下是一些说明它的源代码：

word randomKBits(int k) {
    word min = 0;
    word max = word(~word(0)); // all 1s
    int n = 0;
    while (n != k) {
        word x = randomWord();
        x = min | (x & max);
        n = popcount(x);
        if (n > k)
            max = x;
        else
            min = x;
    }
    return min;
}

我对各种方法进行了性能比较，除非已知k非常小，否则这通常是最快的。

您可以执行以下操作：

1）产生到之间的随机数。$k$$1$$64$

2）将 th设置为。$k$$0$$1$

3）重复步骤1和2次$n$

$A[]$是全的位数组$64$$0$

for(i=1 to n)
{
    k=ran(1,65-i) % random number between 1 and 65-i
    for(x=1;x<65;x++)
    {
        if(A[x]==0)k--;
        if(k==0)break;
    }
    A[x]=1;
}