语法LL（1）怎么样？

这是《龙书》中的一个问题。这是语法：

$S \to AaAb \mid BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

问题问如何显示它是LL（1）而不是SLR（1）。

为了证明它是LL（1），我尝试构造它的解析表，但是在一个单元格中有多个生成，这是矛盾的。

请告诉我们LL（1）怎么样，如何证明它？

formal-grammars compilers parsers

— Vinayak Garg
source

我对语法不是很熟悉，但是这种语法的语言似乎是有限的。

L = {a b, b a}

$L=\{ab,ba\}$

— Nejc

@Nejc：是的，确实如此！

— Vinayak Garg，2012年

Answers:

首先，让我们给您的作品编号。

1 2 3 4 $S \to AaAb$
$S \to BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

让我们先计算第一个，然后再计算第一个。对于诸如此类的小例子，使用关于这些集合的直觉就足够了。

F I R S T (S) = {a, b} F I R S T (A) = {} F I R S T (B) = {} F O L L O W (A) = {a, b} F O L L O W (B) = {a, b}

$\mathsf{FIRST}(S) = \{a, b\}\\ \mathsf{FIRST}(A) = \{\}\\ \mathsf{FIRST}(B) = \{\}\\ \mathsf{FOLLOW}(A) = \{a, b\}\\ \mathsf{FOLLOW}(B) = \{a, b\}$

$LL(1)$ $LL(1)$

    a | b |
-----------
S | 1 | 2 |
A | 3 | 3 |
B | 4 | 4 |

$LL(1)$

$SLR(1)$ $LR(0)$

state 0 S \to ∙ A a A b S \to ∙ B b B a A \to ∙ B \to ∙ A ⟹ 1 B ⟹ 5

$\mbox{state 0}\\ S \to \bullet AaAb\\ S \to \bullet BbBa\\ A \to \bullet\\ B \to \bullet\\ A \implies 1\\ B \implies 5\\$

state 1 S \to A ∙ a A b a ⟹ 2

$\mbox{state 1}\\ S \to A \bullet aAb\\ a \implies 2\\$

state 2 S \to A a ∙ A b A \to ∙ A ⟹ 3

$\mbox{state 2}\\ S \to Aa \bullet Ab\\ A \to \bullet\\ A \implies 3\\$

state 3 S \to A a A ∙ b b ⟹ 4

$\mbox{state 3}\\ S \to AaA \bullet b\\ b \implies 4\\$

state 4 S \to A a A b ∙ b

$\mbox{state 4}\\ S \to AaAb \bullet b\\$

state 5 S \to B ∙ b B a b ⟹ 6

$\mbox{state 5}\\ S \to B \bullet bBa\\ b \implies 6\\$

state 6 S \to B b ∙ B a B \to ∙ B ⟹ 7

$\mbox{state 6}\\ S \to Bb \bullet Ba\\ B \to \bullet\\ B \implies 7\\$

state 7 S \to B b B ∙ a a ⟹ 8

$\mbox{state 7}\\ S \to BbB \bullet a \\ a \implies 8\\$

state 8 S \to B b B a ∙

$\mbox{state 8}\\ S \to BbBa \bullet \\$

$SLR(1)$ $S$

    a     | b     | A | B |
---------------------------
0 | R3/R4 | R3/R4 | 1 | 5 |
1 | S2    |       |   |   |
2 | R3    | R3    | 3 |   |
3 |       | S4    |   |   |
4 | R1    | R1    |   |   |
5 |       | S4    |   |   |
6 | R4    | R4    |   | 7 |
7 | S8    |       |   |   |
8 | R2    | R2    |   |   |

$SLR(1)$ $LALR(1)$ $a$ $LALR(1)$ $b$

$LL(1)$ $LALR(1)$

— 亚历克斯·十·布林克
source

谢谢！我已经正确地构建了“ First＆Follow”，但是在构建表时犯了一个错误。

— Vinayak Garg，2012年

如果不要求您，则无需构造LL（1）表即可证明它是LL（1）语法。您只需像Alex那样计算FIRST / FOLLOW集：

$\qquad \begin{align} \operatorname{FIRST}(S)&={a,b} \\ \operatorname{FIRST}(A)&={ε} \\ \operatorname{FIRST}(B)&={ε} \\ \operatorname{FOLLOW}(A)&={a,b} \\ \operatorname{FOLLOW}(B)&={a,b} \end{align}$

然后，根据定义，LL（1）语法必须：

如果和是两个不同的语法规则，则应该是。因此，这两个集合没有任何共同的元素。 $A \Rightarrow a$ $A \Rightarrow b$ $\operatorname{FIRST}(a) \cap \operatorname{FIRST}(b) = \emptyset$
如果对于任何非终结符您都有，则应该是。因此，如果非终结符的产生为零，则FIRST和FOLLOW集不能具有任何公共元素。 $A$ $Α \Rightarrow^* ε$ $\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$

因此，对于给定的语法：

我们有因为而，它们没有任何共同的元素。 $\operatorname{FIRST}(AaAb) \cap \operatorname{FIRST}(BbBa) = \emptyset$ $\operatorname{FIRST}(AaAb) = \{a\}$ $\operatorname{FIRST}(BbBa) = \{b\}$
$\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}A) = \emptyset$ 因为而，现在因为而。 $\operatorname{FIRST}(A) = \{a,b\}$ $\operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$ $\operatorname{FIRST}(B) \cap \operatorname{FOLLOW}(B) = \emptyset$ $\operatorname{FIRST}(B) = \{ε\}$ $\operatorname{FOLLOW}(B) = \{a,b\}$

至于SLR（1）分析，我认为它是完美的！

— 伊森
source

欢迎！为了改善此答案，为什么不将陈述的内容应用于手头的语法？

— 拉斐尔

很高兴来到这里！回答了您的要求，我想我做了一个详尽的解释！

— 伊桑（Ethan）2012年

谢谢！请注意，我们可以在这里使用LaTeX，就像我为您的数学所做的编辑一样。

— 拉斐尔

哇谢谢！这是一个很好的解释。但是我认为应用程序中存在一些错误。First（A）= {epsilon}不是吗？我认为您交换了FIRST和FOLLOW。

— Vinayak Garg

FIRST（A）确实是epsilon，但是由于您要计算整个右成员的FIRST集，因此A->ε表示我们有一个空生产，并且您看到的第一个终端符号（因此是它的FIRST集）为终端符号希望这对您有所帮助！

— 伊桑（Ethan）2012年

搜索一个足以构成语法LL（1）的条件（提示：查看FIRST集合）。

搜索所有SLR（1）语法必须满足的必要条件（提示：查看FOLLOW集合）。

— 程序员
source