查找字符串中最长的重复模式

我正在寻找一种有效的算法来查找字符串中最长的重复模式。

例如，考虑以下数字字符串：

5431428571428571428571428571427623874534。

如您所见，142857142857是最长的模式，它在此字符串中重复了两次（至少两次）。

重复的字符串不应该包含任何想法，而应该不是蛮力的？

algorithms strings subsequences

— 朱ho
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您没有定义“几次”的含义，但是如果“两次”算作“几次”，则142857它不是最长的，因为142857142857更长。我认为您应该编辑问题以阐明“重复模式”的含义。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

很好的一点。我将更新问题。

您是否要求模式的出现彼此不相交？因为如果不是这样，则142857142857仍然不是最长的重复。142857142857142857142发生两次。无论如何，对此类问题的通常答案是“后缀树”。

问题出乎意料的是微不足道的。首先，两个蛮力算法。方形（“重复模式”）是由它的给定的长度 $\ell$ 和位置 $p$ ，并且需要时间 $O(\ell)$ 来验证。如果遍历所有 $\ell$ 和 $p$ ，则获得 $O(n^3)$ 算法。我们可以改进，通过第一循环在 $\ell$ ，然后在距离两个运行指针扫描串 $\ell$ 。以这种方式，可以验证是否长度的正方形 $2\ell$ 在线性时间存在，给出总共运行时间 $O(n^2)$ 。

Kolpakov和Kucherov开发了一种算法，用于在时间找到单词中的所有最大重复 [1]，并且它们的算法可用于在时间找到所有最大平方。甲重复的形式为一个子字，其中和是一个适当的前缀。包含在该重复的最大正方形是 $O(n)$ $O(n)$ $w^kx$ $k \geq 2$ $x$ $w$ $(w^{\lfloor k/2 \rfloor})^2$ 。使用此公式，给定单词中的所有最大重复次数（其中只有 $O(n)$ ），就可以找到最大的平方。

[1] Kolpakov，R.，＆Kucherov，G.（1999）。在线性时间内找出单词中的最大重复。在计算机科学基金会，1999年。第40届年度研讨会（pp。596-604）。IEEE。

— Yuval Filmus
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