修改Dijkstra算法以获取从范围

假设我有一个有向图，其边权重取自范围$[1,\dots, K]$其中$K$为常数。如果我试图使用Dijkstra的算法找到最短路径，如何修改算法/数据结构并将时间复杂度提高到$O(|V|+|E|)$？

如果边的权是整数，你可以实现的Dijkstra在运行Ø （ķ | V | + | ë |）时，以下@ rrenaud的建议。这是更明确的解释。$\{0,1,\ldots,K\}$$O(K|V|+|E|)$

任何时候，优先级队列中的（有限）键都在，其中D是从优先级队列中删除的最后一个键的值。（每个键至少为d，因为键的通过Dijkstra算法去除的序列是非递减，并且每一个键为至多d + ķ，因为每个键具有值d [ ù ] + 瓦特吨（Û ，瓦特）为某个边缘（u $\{D,D+1,\ldots,D+K\}$$D$$D$$D+K$$d[u] + wt(u,w)$其中 d [ ù ]是从源到一些顶点的距离 ü已经被删除，所以 d [ ù ] ≤ d。）$(u,w)$$d[u]$$u$$d[u]\le D$

因此，您可以使用大小为K + 1的圆形数组来实现优先级队列，每个单元格都包含一个存储桶。存储与密钥每个顶点ķ在细胞铲斗甲[ ħ （ķ ）]其中ħ （ķ ）= ķ MOD （ķ + 1 ）。跟踪的d。进行如下操作：$A[0..K]$$K+1$$k$$A[h(k)]$$h(k)=k \bmod (K+1)$$D$

• 删除最小：当是空的，增量d。然后删除并从A [ h （D ）]返回一个顶点。$A[h(D)]$$D$$A[h(D)]$

• 用键插入：将顶点添加到A [ h （k ）]的桶中。$k$$A[h(k)]$

• 减小键 到k '：将顶点从A [ h （k ）]移到A [ h （k '）]。$k$$k'$$A[h(k)]$$A[h(k')]$

插入键和减小键是固定时间的操作，因此在这些操作中花费的总时间为。在删除最小花费的总时间将是ø （| V |）加上的最终值d ），因为每个路径具有至多| V $O(|V|+|E|)$$O(|V|)$$D$。的最终值是从源到任何顶点的最大（有限的）距离（因为删除分钟即需要我迭代iterations增加ð通过我）。最大距离最大为K （| V | − $D$$i$$D$$i$$K(|V|-1)$边缘。因此，该算法花费的总时间为 O （K | V | + | E |）。$|V|-1$$O(K|V|+|E|)$

我在这里假设是整数，边缘权重是整数。否则，它实际上并不会给您带来任何好处，您始终可以重新调整权重，以使最小边的成本为1，最大边的成本为K，因此该问题与标准的最短路径问题相同。$K$$1$$K$

算法/证明草图：以这种疯狂的方式将优先级队列实现为的数组。V | 列出以成本为关键字的清单，否则使用标准的Dijkstra算法。保持一个计数器，该计数器跟踪堆中最小项目的成本。通过线性扫描删除项目后，解决出队调用。是的，这种声音听起来很疯狂，但常数$K\times |V|$$K$让我们欺骗和欺骗您的线性直觉算法直觉。您只需要从最后一个min标记开始扫描，因为Disjkstra的算法非常适合您的队列实现。在请求出队时，插入队列的项目始终大于或等于先前的最小值。最长的最短路径的长度为因此，您的摊销扫描成本为K × | V | 如果K为常数，则= O （| V |）。$K\times |V|$$K\times |V| = O(|V|)$

您可以使用拓扑排序找到解决方案，然后让源的度数为0，从源的每个边开始移动，如果另一个顶点的度数为0，则将其放入队列并继续进行操作。在这种情况下（在图形内部没有循环），它可以实现V + E，因为它将遍历每个顶点和边缘一次且仅一次。