什么是超级宇宙？

我正在阅读这篇关于类型论中的宇宙的著名论文。起初，我期望与SetωAgda 类似，但事实证明，它甚至更通用。它似乎将Universe构造从普通的归纳-递归类型推广到粘合剂（类似于和）。我想问的主要问题是，它的目的是什么？$\Pi$$\Sigma$

以下是一些Idris代码，它们定义了通常的Tarski风格的Universe：

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

我正在尝试将其概括为

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

应该???怎么办 该论文的作者只是说，宇宙应该在设定的前者之下封闭。

编辑：我认为???这只是b...

在宇宙运算符和一个超宇宙封闭于其下的一个目的是给出从集合论中已知的大基数公理的类型理论形式。一个人迹罕至基数就像一个类型理论的宇宙。下一个有趣的基数是Mahlo基数。用直觉的话来说，Mahlo红衣主教在其下面有“很多”无法访问的红衣主教。从类型理论上讲这是什么？它应该是某种其中有很多宇宙的宇宙这就是Palmgren在考虑超宇宙时要解决的问题。$U$

拥有许多宇宙还有一个更实际的方面。对于类型繁多的目的，在类型论中具有归纳递归类型是有用的。但是它们让我们定义了新的宇宙，所以问题是多少？要了解Palmgren所做的事情，而不是立即拍摄超宇宙，请尝试在Agda中使用以下构造顺序（使用归纳递归）：

1. 定义一个Universe，它包含（的代码）并在和下关闭。这种宇宙相当于一个难以接近的基数。Ñ Π $U_0$$\mathbb{N}$$\Pi$$\Sigma$

2. 定义一个运算符，该运算符可以使用任何类型并定义一个包含（的代码）的Universe 并在和下关闭。这种宇宙算子类似于格洛腾迪克的宇宙公理。从开始，重复应用可以得到多少个宇宙？甲甲Π ＆Sigma; û $U$$A$$A$$\Pi$$\Sigma$$U$$\mathbb{N}$

3. 为了获得更多的宇宙，我们假设一个包含许多宇宙的超宇宙 ，如下所示：$V$

   • Ñ Π $V$包含，并在和下关闭$\mathbb{N}$$\Pi$$\Sigma$
   • 给定（代码）类型和族，存在一个宇宙，它是的元素，它包含族所有类型，并在和下闭合。乙：甲→ V ü V 乙Π $A : V$$B : A \to V$$U$$V$$B$$\Pi$$\Sigma$

   包含多少个宇宙？注意，我们可以得到一个族，使得是第个宇宙，因此必须包含一个包含所有这些的宇宙。这仅仅是开始！乙：Ñ → V 乙（Ñ ）ñ V ù $V$$B : \mathbb{N} \to V$$B(n)$$n$$V$$U_\omega$