为什么在依赖类型系统中将递归类型用作证明的原语？

我是类型理论和依赖编程的新手。我一直在研究构造（CoC）和其他纯类型系统的演算。我对将其用作编译器系统的保存证明中间表示特别感兴趣。

据我所知，（共）递归类型表示的，在计算上，使用作为唯一的类型构造函数。不过，我已经读过，它们不能用于归纳构建证明（请原谅，我现在找不到位置！），例如，我无法在普通CoC中证明（即使可以键入）。 $\Pi$ $0\neq 1$ $\texttt{Nat}$ $\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N}$

我认为这就是为什么他们建立了归纳结构（CIC）的原因。它是否正确？但为什么？我找不到任何材料来解释为什么不使用（共）归纳类型作为原语就无法表示这样的证明。如果不是这样，那么为什么要在CIC中将它们添加为原语？

type-theory dependent-types coq

— 泡桐
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我不是专家，但是我将通过一个示例分享到目前为止我所了解的内容。

让我们考虑使用CoC的布尔类型，使用其标准编码：我们可能期望能够证明实际上，这很快就从我们在CiC中具有依赖消除/归纳原理

\begin{array}{l} B = Π_{τ : *} τ \to τ \to τ \\ t t = λ τ : *, x : τ, y : τ . x \\ f f = λ τ : *, x : τ, y : τ . y \end{array}

$\begin{array}{l} \mathbb{B} = \Pi_{\tau:*} \tau \to \tau \to \tau \\ \mathsf{tt} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ x \\ \mathsf{ff} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ y \end{array}$

Π_{b : B} b = t t \lor b = f f (*)

$\Pi_{b : \mathbb{B}} b={\sf tt} \lor b = {\sf ff} \qquad(*)$

B_{i n d} : Π_{P : B \to *} P (t t) \to P (f f) \to Π_{b : B} P (b)

$\mathbb{B}_{ind} : \Pi_{P:\mathbb{B}\to*} P({\sf tt}) \rightarrow P({\sf ff}) \rightarrow \Pi_{b:\mathbb{B}} P(b)$

但是，我们不能真正期望（*）在所有CoC模型中都适用！直观地，的值应该大致是函数的函数族，为每种类型分配解释中的值。但这不会强制为的值之间的一个。例如，我们可以（非正式地）有 $\mathbb{B}$ $\{f_\tau\}_{\tau}$ $\tau$ $\tau\to\tau\to\tau$ $f_\tau$ $\sf tt,ff$

f_{N} (n) (m) = n + m

$f_{\mathbb{N}}(n)(m) = n+m$

为了确保的值是唯一可能的值，我们需要将自己限于参数模型。确实（我认为）可以从与多型相关的自由定理证明性质。 $\sf tt,ff$ $(*)$ $\mathbb{B}$

但是，据我了解，CoC并不排除参数不成立的临时模型。在某些情况下，只是错误的。根据健全性，在存在对等模型的情况下，我们得出结论在CoC中不存在。因此，CoC中也没有术语。 $(*)$ $(*)$ $\mathbb{B}_{ind}$

— 志
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我不确定是否要遵循。例如，给定表达式为，我可以通过多种方式为Nat构造构造函数，但最终，不是所有的构造函数都可以由任一构建或？

(λ (N a t : *) . (. . .)) (Π (N : *) . Π (S : N \to N) . Π (Z : N) . N)

$(\lambda(Nat:*).(...)) (\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N})$

S

$S$

Z

$Z$

— paulotorrens

@paulotorrens在逻辑内部，是的，我相信这些是唯一的选择。但是在CoC模型（即席模型）中，可能存在无法通过定义的值。考虑一个自然值，使得所有类型，除了，其中。在大多数类型上，值表现为“零”，对于布尔值，其表现为“一”。我们不能写在CoC中定义该值，但是在临时模型中该值仍可能存在。

N a t

$Nat$

S, Z

$S,Z$

n

$n$

n (T) (S_{T}) (Z_{T}) = Z_{T}

$n(T)(S_T)(Z_T) = Z_T$

T

$T$

T = B

$T=\mathbb{B}$

n (B) (S) (Z) = S (Z)

$n(\mathbb{B})(S)(Z) = S(Z)$

n

$n$

λ T : * . i f T = B t h e n \dots

$\lambda T:*. {\sf if}\ T=\mathbb{B}\ {\sf then}\ \ldots$

n

$n$

— 志

@paulotorrens如果您考虑也许可以更轻松地理解问题。这种类型仅由（多态的）同一性所占据，并且在参数模型中确实是该类型术语的唯一可能值。但是，在临时模型中，我们可以为所有类型定义一个值，但对于，其中。

Π_{T : *} T \to T

$\Pi_{T:*} T\to T$

v (T) (x) = x

$v(T)(x) = x$

T

$T$

T = N

$T=\mathbb{N}$

v (N) (x) = x + 1

$v(\mathbb{N})(x) = x+1$

— 志